Enunciado

No instante que o deslocamento de um objeto de 2 k g em relação à origem é d = 2 m i → + 4 m j → - 3 m k → , a velocidade é v → = - 6 m / s i → + 3 m / s j →   + 3 m / s   k   ⃗     e o objeto está sujeito a uma força F → = 6 N i → - 8 N j → + 4 N k → . Determine

( a ) a aceleração do objeto ,

( b ) o momento angular do objeto em relação à origem,

( c ) o torque em relação à origem a que está submetido o objeto e

( d ) o ângulo entre a velocidade do objeto e a força que age sobre ele.

Passo 1

Para calcular a acelerção, vamos lembrar da segunda lei de Newton:

F → r e s = m . a →

Como a força aplicada é F → = 6   N   i → - 8   N   j → + 4   N   k → e a massa é m = 2 kg , temos:

6 ,   - 8 ,   4 = 2 a x ,   a y ,   a z

Agora vou usar o conceito de igualdade de vetores. Um vetor só é igual ao outro quando todas suas componentes são iguais, assim teremos:

2 a x = 6   ∴ a x = 3

2 a y - 8   ∴ a y = - 4

2 a z = 4   ∴ a z = 2

Portanto a aceleração é dada por:

a → = 3 i → - 4 j → + 2 k →   m/s²

Passo 2

  Agora o problema pede o momento angular. Lembrando que a definição é:

L → = m r → × v → = m . i → j → k → x y z v x v y v z

Podemos montar o produto vetorial com as componentes dos vetores posição e velocidade:

L → = 2 . i → j → k → 2 4 - 3 - 6 3 3 = 2 [ 12 + 9 i → + 18 - 6 j → + 6 + 24 k → ]

L → = 42 i → + 24 j → + 60 k →   J.s

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Passo 3

Agora o probleme pergunta o torque. Vamos lembrar como se calcula? Da definição:

τ → = r → × F →

Assim, também podemos montar um produto vetorial com as componentes dos vetores que o enunciado dá:

τ → = i → j → k → 2 4 - 3 6 - 8 4 = i → 16 - 24 - j → 8 + 18 + k → - 16 - 24

τ → = - 8 i → - 26 j → - 40 k →   Nm

Passo 4

Por fim, é pedido o ângulo entre a velocidade e a força.

Vou fazer um produto escalar entre esses vetores, pois eu sei que o produto escalar entre dois vetores quaisquer é:

a → . b → = a . b . c o s ⁡ ( θ )

Aplicando isso para v → e F → temos:

cos ⁡ θ = v . → F → v F = - 6 ; 3 ; 3 . 6 ; - 8 ; 4 ( - 6 ) 2 + 3 2 + 3 2 . 6 2 + ( - 8 ) 2 + 4 2  

cos ⁡ θ = - 36 - 24 + 12 54 . 116 = - 48 79,14 = - 0,606

θ = 127,3 °

Bora treinar mais?

Resposta

  1. a → = 3 i → - 4 j → + 2 k →   m/s²
  2. 42 i → + 24 j → + 60 k →   J.s
  3. - 8 i → - 26 j → - 40 k →   N.m
  4. θ = 127,3 °
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