Enunciado

Um jogador de boliche arremessa uma bola de raio R = 11 c m ao longo de uma pista. A bola (figura abaixo) desliza na pista com velocidade inicial v c m = 8,5 m / s e velocidade angular inicial ω 0 = 0 . O coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é 0,21 . A força de atrito cinético f k → que age sobre a bola produz uma aceleração linear e uma aceleração angular. Quando a velocidade v c m diminui o suficiente, a bola para de deslizar e passa a rolar suavemente.

a Qual é o valor de v c m em termos de ω nesse instante?

Durante o deslizamento, qual é

( b ) a aceleração linear

( c ) a aceleração angular da bola?

( d ) Por quanto tempo a bola desliza?

( e ) Que distância a bola desliza?

f Qual é a velocidade linear da bola quando começa a rolar suavemente?

Passo 1

Fala aii galerinha bonita, tudo tranks!? Cola aqui comigo pra gente praticar um pouco!

Aqui temos dois momentos:

  1. deslizamento que faz com que a bola perca velocidade linear (aumentando assim a rotação).
  2. o rolamento sem deslizamento que já estamos acostumados.

No momento em que o corpo passa do momento com deslizamento para sem deslizamento, ele adquire velocidade angular ω devido a sua rotação, como a esfera desliza no sentido positivo do eixo x enquanto gira no sentido negativo horário, podemos relacionar a velocidade angular com a velocidade do centro de massa v c m   através da equação:

v c m = - ω r

Como r = 0,11   m , temos que:

v c m = - 0,11 ω

Passo 2

Belezera, então primeiro vamos olhar para a parte com deslizamento. O que acontece aqui é que existe uma força de atrito que não permite que a bola de boliche deslize. Saca só, na vertical temos a força normal apontando para cima e a peso para baixo.

Ambas com mesmo módulo, pois a bola não está em deslocamento vertical. Tal que:

N = P

N = m g

Agora se a gente olhar pro movimento na horizontal, temos apenas a força de atrito atuando sobre a bola de boliche:

A equação para a força de atrito que conhecemos é dada como:

f a t = - N . μ

O sinal negativo indica o sentido contrário ao do movimento. E além disso, o enunciado nos diz que essa força de atrito fornece uma aceleração linear para a bola de boliche, tal que:

f a t = m . a

Logo:

- N . μ = m . a

- m g . μ = m a

Isolando a :

a = - m g μ m

a = - μ g

Portanto:

a = - 0,21 × 9,8

a ≈ - 2,1   m/s²

Passo 3

Então belezinha, agora vamos determinar a aceleração angular.

Sabemos que o torque é dado pela equação:

τ → = I α

Onde I é o momento de inércia do objeto enquanto que α é a aceleração angular. MAASSS, também sabemos que o torque pode ser dado por essa outra equação aqui:

τ → = r × F →

Onde F → é a força que atua sobre o objeto a uma distância r do eixo de rotação, gerando. Igualando as duas equações, obtemos que:

r × F → = I α

No nosso caso, temos que a força que gera esse torque, é a força de atrito f a t , a uma distância R , enquanto que o momento de inércia da bola de boliche é igual ao de uma esfera maciça, I = 2 5 m R 2 , logo:

R f a t = 2 5 m R 2 α

R - m g . μ = 2 5 m R 2 α

Isolando α , vamos obter que:

- g μ = 2 5 R α

a = - 5 g μ 2 R

Logo:

α = 5 × 9,8 × 0,21 2 0,11

α = - 47,0   rad/ s 2

Passo 4

  Agora para determinar o tempo que a bola desliza, vamos usar a relação lá do passo 1 :

v c m = - 0,11 ω

Agora sabemos as acelerações, então podemos relacionar essas velocidades com o tempo com que elas variam:

v 0 + a t = - 0,11 ( ω 0 + α t )

A velocidade angular inicial é zero, a velocidade inicial é dada e vale 8,5   m/s , e as acelerações acabamos de encontrar nos passos anteriores. Então é só substituir:

8,5 - 2,1 t = - 0,11 ( 0 - 47,0 t )

Isolando t :

8,5 = - 0,11 - 47,0 t + 2,1 t

8,5 = 5,1 t + 2,1 t

Logo:

t = 8,5 7,20

t = 1,2   s

Passo 5

O deslocamento pode ser dado pela equação horária do movimento. Das equações da cinemática temos:

s = s 0 + v 0 t + a t 2 2

Substituindo os valores que descobrimos, vamos ter que:

s = 0 + 8,5 × 1,2 - 2,1 1,2 2 2

s = 8,6   m

Passo 6

E por fim, também da cinemática, a velocidade final vai ser um pouco menor do que a inicial, pois ela sofre com a força de atrito:

v = v 0 + a t = 8,5 - 2,1 × 1,2

v = 6,1   m/s  

Show!

Bora treinar mais?

Resposta

  1. v c m = - 0,11 ω  
  2. - 2,1   m/s²
  3. - 47,0   rad/ s 2
  4. 1,2   s
  5. 8,6   m
  6. 6,1   m/s
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