Enunciado

Um jogador de futebol inexperiente chuta um pênalti a 9m do gol, levantando a bola com velocidade inicial de 15 m/s. A altura da trave é de 2,4m. Calcule: a) a que distância máxima da trave, atrás do gol, um apanhador de bola pode ficar agachado, e b) a que distância mínima devem ficar os espectadores, para que não corram risco nenhum de levar uma bolada.

Passo 1

(a) Para começar essa questão vamos analisar a situação. Sabemos que para que a bola atinja a distância máxima passando por cima do gol o ângulo do chute deve ser o mais próximo possível de 45 ° .

Como a distância entre o jogador e o gol é de 9   m e a altura da trave é de 2,4 m , sendo o chute inicial a 15 m / s podemos verificar se a 45 ° o chute é suficiente para atravessar o travessão:

A altura da bola após percorrer 9 m na horizontal será:

Primeiro vamos achar o tempo que ela demorou para chegar no alcance de 9m:

A = v 0 x t

9 = v 0 cos ⁡ θ t

t = 9 15 cos ⁡ θ

Agora vamos ver em que altura a bola se encontra nesse instante t :

h = v 0 y t - g t 2 2

Substituindo t que achamos:

h = 15 sin ⁡ θ 9 15 cos ⁡ θ - g 2 9 15 cos ⁡ θ 2

Simplificando, temos:

h = 9 . t g θ - 9,8 2 9 2 15 2 cos 2 ⁡ θ

Substituindo g = 9,8 m / s 2 , θ = 45 ° e fazendo as continhas:

h = 9 - 9,8 . 81 225

h = 5,472   m

Como h = 5,472 m é maior que a altura do travessão, podemos garantir que o alcance máximo da bola, quando ela passa por cima do travessão a 9m de distância horizontal, é se o jogador chutar a 45 ° .

Passo 2

Agora, vamos calcular o alcance máximo A m . A fórmula do alcance é:

A m = v x t v ô o

Para o alcance máximo, t seria o tempo total em que a bola permanece no ar. Esse tempo pode ser calculado por:

v y = v 0 y - g t

Sabemos que o campo de futebol deve ser nivelado, então, temos que o tempo total do percurso é duas vezes o tempo de subida ou duas vezes o tempo de queda. Então, vamos só calcular o de subida e multiplicar por 2 , ok?? Com isso, nosso v y = 0 :

v 0 y = g t

t = v 0 y g

Então, nosso tempo de vôo será: t = 2 v 0 y g . Substituindo esse tempo na fórmula do alcance:

A m = 2 v x v 0 y g

Substituindo v x = v cos ⁡ ( θ ) e v 0 y = v   s e n ⁡ ( θ ) :

A m = 2 v 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ g

Só que, sabemos que θ = 45 ° , pois foi o que achamos para o alcance máximo no passo anterior, então sen ⁡ 45 ° = cos ⁡ 45 ° = 2 2 :

A m = 2 v 2 2 2 2 g

A m = 2 v 2 1 2 g

A m = v 2 g

Substituindo os valores que temos:

A m = 225 9,8   = 22,9   m

Só que essa é a distância do jogador até o alcance máximo da bola, como a questão quer a distância a partir do gol, temos que diminuir a distância do jogador até o gol.

Logo o apanhador deve ficar a 22,9 - 9 = 13,9   m do gol.

Ufa, menos uma letra!

Passo 3

(b) Para que ninguém seja atingido é só ficar atrás da distância máxima, ou seja, a no mínimo 22,9 m da marca do pênalti.

Resposta

a )   13,9   m

b )   22,9   m

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