Enunciado

Em um jogo de xadrez ao ar livre, no qual as peças ocupam o centro de quadrados com 1,00   m de lado, um cavalo é movido da seguinte forma: (1) dois quadrados para a frente e um quadrado para a direita; (2) dois quadrados para a esquerda e um quadrado para a frente; (3) dois quadrados para a frente e um quadrado para a esquerda. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao sentido "para a frente") do deslocamento total do cavalo após a série de três movimentos.

Passo 1

Para resolver este tipo de problema é preciso lembrar que para somar dois vetores podemos obter as componentes escalares dos vetores e, em seguida, combiná-las, eixo por eixo, com isso obtemos as componentes do vetor soma e escrevendo as componentes usando a notação de vetores unitários podemos escrever o vetor resultante da soma. Logo:

r → = a → + b → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Além disso, devemos nos lembrar que o módulo de um vetor r → é dado por:

r = r x 2 + r y 2 + r z 2

Neste problema nós temos três movimentos, com submovimentos unitários (para frente, para trás, para direita e para esquerda). Para determinar o módulo do deslocamento total, precisamos fazer a soma vetorial dos deslocamentos.

Passo 2

Escrevendo os movimentos em função dos vetores unitários, considerando o semieixo x positivo para direita e o semieixo y positivo para frente. Então:

Movimento 1 - dois quadrados para frente e um para direita:

d → 1 = 1 i ^ + 2 j ^

Movimento 2   – dois quadrados para esquerda e um quadrado para frente:

d → 2 = - 2 i ^ + 1 j ^

Movimento 3 – dois quadrados para frente e um para esquerda:

d → 3 = - 1 i ^ + 2 j ^

Passo 3

Escrevendo o somatório vetorial dos deslocamentos:

d → t o t a l = d → 1 + d → 2 + d → 3

Substituindo os valores do passo 2 :

d → t o t a l = ( 1 i ^ + 2 j ^ ) + - 2 i ^ + 1 j ^ + ( - 1 i ^ + 2 j ^ )

E combinando as componentes, eixo por eixo:

d → t o t a l = 1 - 2 - 1 i ^ + 2 + 1 + 2 j ^

d → t o t a l = - 2 i ^ + 5 j ^

Passo 4

Com o vetor em função das componentes, usamos a equação do módulo do vetor que está explicitada no passo inicial:

d t o t a l = d x 2 + d y 2

Substituindo os valores:

d t o t a l = - 2 2 + 5 2 = 5,4   m

Passo 5

Sabendo que o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo é dado por:

θ = tan - 1 ⁡ r y r x

Então:

θ d ' = tan - 1 ⁡ 5 - 2 = 111,80 °   o u   291,80 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função tan - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor d → t o t a l possui a componente x negativa e a componente y positiva, então este só pode estar no segundo quadrante, pois é o único cujo o seno é positivo e cosseno é negativo, portanto:

θ d ' = 111,80 °

Porém, o enunciado pede o ângulo em relação ao semieixo y positivo, de acordo com nossas referências, então, precisamos subtrair 90 ° do ângulo encontrado acima. Assim:

θ d = 111,8 ° - 90 ° = 21,8 °

Resposta

  1. d t o t a l = 5,4   m ;
  2. θ d = 21,8 ° .
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