Enunciado

Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa três deslocamentos sucessivos no nível do solo: d → 1 , de 0,40   m para sudoeste (ou seja, 45 ° entre sul e oeste), d → 2 , de 0,50 m para leste, e d → 3 , de 0,60   m em uma direção 60 ° ao norte do leste. Suponha que o sentido positivo do eixo x aponte para leste e o sentido positivo do eixo y para o norte. Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de d → 1 ? Quais são (c) a componente x e (d) a componente y de d → 2 ? Quais são (e) a componente x e (f) a componente y de d → 3 ?

Passo 1

Vamos representar um vetor de 0,40   m apontando na direção sudoeste:

(a) Nesse caso, a componente x é:

x 1 = - 0,40 cos ⁡ 45 ° = - 0,28   m

(b) E a componente y é:

y 1 = - 0,40 sen ⁡ 45 ° = - 0,28   m

Passo 2

Agora vamos representar um vetor de 0 , 5 0   m apontando na direção leste:

(c) Nesse caso, a componente x é:

x 2 = 0,50   m

(d) E a componente y é:

y 2 = 0

Passo 3

Por último. vamos representar um vetor de 0 , 6 0   m apontando em uma direção 60 ° ao norte do leste:

(e) Nesse caso, a componente x é:

x 3 = 0,60 cos ⁡ 60 ° = 0,30   m

(f) E a componente y é:

y 3 = 0,60 sen ⁡ 60 ° = 0,52   m

Passo 4

Agora que já calculamos todas as componentes de cada um dos deslocamentos, vamos escrever d → 1 , d → 2 e d → 3 em forma vetorial:

d → 1 = - 0,28   i ^ - 0,28   j ^   m

d → 2 = 0,50   i ^   m

d → 3 = 0,30 i ^ + 0,52   j ^   m

Podemos usar isso para calcular o deslocamento total:

d → = d → 1 + d → 2 + d → 3

d → = - 0,28   i ^ - 0,28   j ^ + 0,50   i ^ + 0,30 i ^ + 0,52   j ^

d → = 0,52   i ^ + 0,24   j ^   m

(g) Então a componente x do deslocamento total é 0,52   m .

(h) A componente y do deslocamento total é 0,24   m .

Passo 5

(i) Agora que já conhecemos o vetor do deslocamento total d → , podemos calcular o seu módulo:

d = 0,52 2 + 0,24 2

d = 0,57   m

E como as duas componentes do vetor são positivas, sabemos que ele aponta para algum lugar no primeiro quadrante.

Então podemos definir totalmente a sua orientação se calcularmos o ângulo que ele forma com o eixo x :

θ = arctan ⁡ 0,24 0,52 = 25 °

Ou seja, 25 ° ao norte do leste.

Passo 6

(k) Para que a formiga volte diretamente para o ponto de partida, ela precisará andar uma distância igual ao módulo do deslocamento total:

d = 0,57

(l) E como o deslocamento apontava ao norte do leste, para voltar ao ponto de partida a formiga deve andar ao sul do leste.

Resposta

(a) A componente x de d → 1 é - 0,28   m .

(b) A componente y de d → 1 é - 0,28   m .

(c) A componente x de d → 2 é 0,50   m .

(d) A componente y de d → 2 é zero.

(e) A componente x de d → 3 é 0,30   m .

(f) A componente y de d → 3 é 0,52   m .

(g) A componente x do deslocamento total é 0,52   m .

(h) A componente y do deslocamento total é 0,24   m .

(i) O módulo do deslocamento total é 0,57   m .

(j) O sentido do deslocamento total é 25 ° ao norte do leste.

(k) A formiga deve percorrer 0,57   m .

(l) Ela deve ser mover 25 ° ao sul do leste.

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