Enunciado

Lei de Gauss para a gravitação. A força gravitacional entre duas massas puntiformes separadas por uma distância r é proporcional a 1 / r 2 , tal como no caso da força elétrica entre duas cargas puntiformes. Em virtude dessa semelhança entre uma força gravitacional e uma força elétrica, também existe uma lei de Gauss para a gravitação. a Seja g → a aceleração da gravidade produzida por uma massa puntiforme m na origem, de modo que g → = - ( G m / r 2 ) r ^ . Considere uma superfície gaussiana esférica com raio r , centralizada sobre essa massa puntiforme, e demonstre que o fluxo de g → através dessa superfície é dado por

b Usando as mesmas etapas lógicas adotadas na Seção 22.3 para deduzir a lei de Gauss para um campo elétrico, demonstre que o fluxo de g → através de qualquer superfície fechada é dado por

Em que M i n t e é a massa total no interior da superfície fechada.

Passo 1

Utilizando a lei de Gauss para a gravitação, o fluxo de g → por uma superfície gaussiana de raio r será:

∮ g → ∙ d A → = ∮ - G m r 2 d A →

= - G m r 2 ∮ d A →

Como a superfície esférica é uma superfície fechada, temos que:

∮ g → ∙ d A → = - G m r 2 A s u p G a u s s

= - G m r 2 4 π r 2

Portanto:

∮ g → ∙ d A → = - 4 π G m

Passo 2

A partir desse resultado, podemos fazer uma comparação.

Se para a lei de Gauss para uma carga puntiforme o fluxo elétrico sobre uma superfície gaussiana depende apenas da carga total envolvida pela superfície, para o caso gravitacional ocorre o mesmo caso, tal que no lugar da carga teremos uma massa total sendo envolvida pela superfície gaussiana.

Logo, considerando uma superfície fechada arbitrária, o fluxo gravitacional que passa por ela depende da massa total no seu interior, ou seja:

∮ g → ∙ d A → = - 4 π G M i n t e

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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