Enunciado

Aplicação da lei de Gauss para a gravitação. Usando a lei de Gauss para a gravitação (deduzida na parte b do Problema 22.59 ), mostre que as seguintes afirmações são verdadeiras: a Para qualquer distribuição de massas esfericamente simétrica com massa total M , a aceleração da gravidade fora da distribuição é a mesma que aquela produzida se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro. (Sugestão: Veja o Exemplo 22.5 na Seção 22.4 .) b Para qualquer ponto no interior de uma casca esférica com massa distribuída uniformemente em sua superfície, a aceleração da gravidade é igual a zero. (Sugestão: Veja o Exemplo 22.5 .) c Caso fosse possível fazer um buraco retilíneo através do centro de um planeta esfericamente simétrico, com densidade uniforme, verificaríamos que o módulo de g ^ seria diretamente proporcional à distância r ao seu centro (Sugestão: Veja o Exemplo 22.9 na Seção 22.4 .) Provamos esses resultados na Seção 12.6 fazendo cálculos muito trabalhosos; as provas mediante o uso da lei de Gauss da gravitação são muito mais simples.

Passo 1

Consideramos uma superfície gaussiana com raio r > R , tal que R é o raio da distribuição de massa. Utilizando a lei de Gauss gravitacional, é possível encontrar o valor da aceleração da gravidade, dado por:

Φ g = ∮ g → ∙ d A →

Como a aceleração da gravidade tem sentido para o centro da esfera, ela tem o sinal negativo para que o fluxo seja nesse sentido. Além disso, sabemos que a massa total envolvida pela superfície é M .

Logo, usando o resultado obtido na parte b do Problema 22.59 , temos:

Φ g = - g A = - 4 π G M

- g 4 π r 2 = - 4 π G M

E, portanto:

g = G M r 2

Este resultado é o mesmo para uma massa puntiforme no centro da superfície esférica.

Passo 2

Agora, para a região r < R , consideramos uma superfície gaussiana com esse raio.

No entanto, como a massa está distribuída apenas pela sua superfície, não há nenhuma massa sendo envolvida pela superfície gaussiana. Portanto, através da equação

g = G M r 2

Concluímos que a aceleração da gravidade é zero.

Passo 3

Da mesma forma, para a região r < R , aplicamos a lei de Gauss para uma superfície gaussiana com esse raio. Logo:

Φ g = ∮ g → ∙ d A → = - 4 π G M i n t e

No entanto, para essa região, a densidade é distribuída uniformemente.

Assim, devemos calcular a massa total envolvida pela superfície, tal que:

M i n t e = ρ V i n t e = ρ 4 3 π r 3

Devemos lembrar que essa densidade é da distribuição de massas pelo planeta esférico de raio R , logo:

M i n t e = M 4 3 π R 3 4 3 π r 3 → M i n t e = M r 3 R 3

Como descobrimos antes, a aceleração da gravidade é dada por:

g = G M r 2

E, substituindo o valor da massa envolvida:

g = G r 2 M r 3 R 3

Então:

g = G M r R 3

Que é uma equação diretamente proporcional à r .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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