Enunciado

Uma lente delgada simétrica biconvexa é feita de vidro com índice de refração de 1,52 e possui distância focal no ar igual a 40,0   c m . A lente fecha uma abertura na extremidade esquerda de um tanque cheio de água. Na extremidade direita do tanque, oposta à lente, existe um espelho plano situado a uma distância de 90,0   c m da lente. O índice de refração da água é igual a 4 / 3 . (a) Determine a posição da imagem formada pelo sistema lente-água-espelho referente a um pequeno objeto fora do tanque situado sobre o eixo da lente a uma distância de 70,0   c m à esquerda da lente. (b) A imagem é real ou virtual? (c) A imagem é direita ou invertida? (d) Se o objeto possui uma altura de 4,0   m m , qual é a altura da imagem?

Passo 1

(a) Já que o enunciado deu a distância focal da lente no ar, a gente pode usar isso pra calcular o raio de curvatura da lente biconvexa:

1 f = n - 1 1 R 1 - 1 R 2

O índice de refração da lente é n = 1,52 , e os dois raios de curvatura têm mesmo módulo e sinais opostos:

1 40 = 1,52 - 1 2 R

R = 0,52 2 40 = 41,6   c m

Passo 2

Beleza. A primeira coisa que a luz faz depois de sair do objeto é ser refratada na interface entre o ar e o vidro da lente.

n a s + n b s ' = n b - n a R

Substituindo com os valores que estão no desenho, e o raio que calculamos ali em cima:

1,00 70 + 1,52 s 1 ' = 0,52 41,6

s 1 ' = - 851   c m

Essa imagem vai servir de objeto para a segunda refração, em que a luz passa de dentro da lente para a água.

O sinal negativo diz que a primeira imagem se formou à esquerda da lente. Quando essa imagem serve de objeto para a lente, temos:

s 2 = 851   c m

Então:

n a s + n b s ' = n b - n a R

1 , 52 851 + 4 / 3 s 2 ' = 1,33 - 1,52 - 41,6

O sinal do raio de curvatura muda porque agora estamos do outro lado do centro de curvatura da lente (indo de dentro pra fora).

s 2 ' = 491   c m

Isso quer dizer que a imagem está 491   c m à direita da lente, e a 401   c m do espelho plano.

Logo em seguida, o espelho plano vai gerar uma imagem 401   c m à sua esquerda, e então a distância até a lente vai ser:

- s 3 = 401 - 90 = 311   c m

À esquerda da lente! O sinal negativo aparece porque essa imagem serve de objeto virtual para a lente.

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo caminho de antes, mas ao contrário.

Primeiro a imagem é refratada na interface entre a água e a lente:

n a s + n b s ' = n b - n a R

1,33 - 311 + 1,52 s 3 ' = 1,52 - 1,33 41,6

s 3 ' = 173   c m

E seguindo a mesma lógica de antes, agora passamos da lente para o ar:

n a s + n b s ' = n b - n a R

1,52 - 173 + 1,00 s 4 ' = 1,00 - 1,52 - 41,6

s 4 ' = 47,0   c m

Ou seja, a imagem final é formada 47,0   c m à esquerda da lente. (Já que temos uma lente e um espelho, só faz sentido que a imagem esteja à esquerda mesmo!)

Passo 4

Ok, agora pra determinar as outras propriedades da imagem, vamos calcular a ampliação total.

A ampliação só é diferente de 1,00 quando estamos passando pela lente, o que aconteceu quatro vezes, então:

m = m 1 m 2 m 3 m 4

E a fórmula para cada uma dessas ampliações é:

m i = - n a s i ' n b s i

Então temos que voltar nos passos de cima para ver quais eram esses valores em cada passo:

m = 1,00 - 851 1,52 70,0 1,52 491 1,33 851 1,33 173 1,52 - 311 1,52 47,0 1,00 - 173

E essa confusão toda vai dar no seguinte:

m = - 1,06

Agora vamos às perguntas.

Passo 5

(b) Como na última etapa a gente acabou com s ' > 0 , a imagem é real.

(c) Como a ampliação resultante é m = - 1,06 < 0 , a imagem é invertida.

(d) Já que a altura original do objeto era y = 4,00   m m e a ampliação é m = - 1,06 , a altura final é:

y ' = m y = - 1,06 4,00 = - 4,24   m m

Ou seja, a altura final é 4,24   m m . O sinal só indica que a imagem é invertida.

Resposta

(a) A imagem final se forma 47,0   c m à esquerda da lente.

(b) A imagem é real.

(c) A imagem é invertida.

(d) A altura da imagem final é 4,24   m m .

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