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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Tipler - Vol 2 - 6ª Ed.

Enunciado

Física - Tipler - Vol 2 - 6ª Ed. - 33.1 - 53

Luz monocromática incide em uma lâmina que tem quatro fendas longas, estreitas e igualmente espaçadas por uma distância d . (a) Mostre que as posições dos mínimos de interferência em um anteparo a uma grande distância L da lâmina com as fendas (com d ≪ λ ) são dadas aproximadamente por y m = m λ L / 4 d , onde m = 1,2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 ,   … , isto é, m não é múltiplo de 4 . (b) Para um anteparo a um distância de 2 , 00   m , luz de comprimento de onda de 6 00   n m e um espaçamento entre as fontes de 0,100   m m , calcule a largura do máximo principal de interferência (a distância entre mínimos sucessivos) para as quatro fontes. Compare a largura com a de duas fontes com o mesmo espaçamento.

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Certo! Observe que, podemos usar conceitos de fasor para encontrar o ângulo de fase δ em termos do número de fasores N (três neste problema) formando um polígono fechado de N lados nos mínimos e então usar esta informação para expressar a diferença de caminho Δ r para cada um destes locais. Aplicando uma pequena aproximação de ângulo, podemos obter uma expressão para y que podemos avaliar para um número suficiente de diferenças de trajetória para estabelecer o padrão dado na declaração do problema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Certo, vamos expressar o ângulo de fase δ em termos do número de fasores N formando um polígono fechado de N lados:

δ = m 2 π N

Onde

m = 1,2 , 3,4 , 5,6 , 7 , …

Para quatro fontes igualmente espaçadas, o ângulo de fase é:

δ = m π 2

Expressamos a diferença de trajetória correspondente a este ângulo de fase a obter:

Δ r = λ 2 π δ = m λ 4

Máximas interferências ocorrem por:

m = 3,6 , 9,12 , … .

Mínimas interferências ocorrem por:

m = 1,2 , 4,5 , 7,8 , …

Note que m não é um múltiplo de 3.

Expressar a diferença do caminho Δ r em termos de sin ⁡ θ e a separação d das fendas:

Δ r = d sin ⁡ θ

ou, desde que a aproximação de ângulos pequenos seja válida,

Δ r = y d L

y = L d Δ r

Substituindo y na equação que expressa a diferença de caminho Δ r :

y m i n = m λ L 4 d ,   m = 1,2 , 3 , 5,7 , 9 , …  

Passo 3

Para o item b) basta substituir numericamente os valores dados pela questão na equação encontrada no item a). Portanto

2 y m i n = 2 6 00   n m 2 , 00 m 4 0,100   m m = 6,00   m m

Passo 4

Para duas fendas:

2 y m i n = 2 m + 1 2 λ L d

Substituindo numericamente encontraremos

2 y m i n = 600   n m 2,00   m 0,100   m m = 12,0   m m

Logo, a largura para quatro fontes é metade da largura para duas fontes.

Passo 5

Pronto! Finalizamos a questão 😊. Nos vemos na próxima questão. OK? Até mais.

Resposta

a )   y m i n = m λ L 4 d ,   m = 1,2 , 3 , 5,7 , 9 , …  

b )   2 y m i n = 6,00   m m

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