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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Tipler - Vol 2 - 6ª Ed.

Enunciado

Física - Tipler - Vol 2 - 6ª Ed. - 33.1 - 56

Na difração de fenda simples de Fraunhofer, o padrão de intensidade (Figura 33-11) consiste em um máximo central largo com uma sequência de máximos secundários de cada lada do máximo central. A intensidade é dada por I =   I 0 s e n 1 2 ϕ 1 2 ϕ , onde ϕ é a diferença de fase entre as ondas secundárias chegando das extremidades opostos das fendas. Calcule os valores de ϕ para os primeiros três máximos secundários de um lado do máximo central determinando os valores de ϕ para os quais d I / d ϕ é igual a zero. Confira seus resultados comparando suas respostas com valores aproximados para ϕ igual a 3 π , 5 π e 7 π . (Na discussão sobre a Figura 33-27 será mostrado que estes valores de ϕ são aproximadamente corretos nos máximos de intensidade secundários.)

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Certo! Observe que, podemos usar o diagrama de fases mostrado na Figura abaixo para determinar os três primeiros valores de ϕ que produzem máximos de intensidade secundária. Definindo a derivada da Equação I =   I 0 s e n 1 2 ϕ 1 2 ϕ igual a zero produzirá uma equação transcendental cujas raízes são os valores de ϕ que correspondem aos máximos de intensidade no padrão de difração.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Certo! Atentando-se a figura do passo anterior, vemos que o primeiro máximo subsidiário ocorre onde:

ϕ = 3 π

A intensidade mínima ocorre quanto:

ϕ = 4 π

Outra intensidade máxima ocorre quanto

ϕ = 5 π

Assim, os máximos de intensidade secundária ocorrem onde:

ϕ = 2 n + 1 π

n = 1,2 , 3 , …

e os três primeiros máximos de intensidade secundária estão em ϕ = 3 π ,   5 π , e 7 π .

Passo 3

A intensidade no padrão de difração de uma única fenda é dada por:

I = I 0 sin ⁡ 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2

Definindo a derivação desta expressão igual a zero para valores extremos (mínimos e máximos relativos):

d I d ϕ = 2 I 0 sin ⁡ 1 2 ϕ 1 2 ϕ 1 4 ϕ cos ⁡ 1 2 ϕ - 1 2 sin ⁡ 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 = 0

Simplificando a equação, vamos obter que

tan ⁡ 1 2 ϕ = 1 2 ϕ

Resolva esta equação numericamente (use a função ″Solver″ de sua calculadora ou métodos de tentativa-e-erro) para obter:

ϕ = 2,86 π ,   4,92 ϕ ,   e 6,94 π

Nos três mínimos de intensidade ϕ   =   2 π ,   4 π , e 6 π , e nos três máximos de intensidade ϕ   =   2 , 86 π ,   4 , 92 π , e 6 , 94 π . Na intensidade máxima ϕ ≈   3 π ,   5 π , e 7 π .

Passo 4

Observe que nossos resultados no Passo 3 são menores do que os valores aproximados encontrados no Passo 2 em 4,9 % , 1,6 % e 0,86 % e que o acordo melhora conforme n aumenta.

Passo 5

Pronto! Finalizamos a questão 😊. Nos vemos na próxima questão. OK? Até mais.

Resposta

ϕ = 3 π ,   5 π , e 7 π

ϕ = 2,86 π ,   4,92 ϕ ,   e 6,94 π

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