Enunciado

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Um malabarista se apresenta em uma sala cujo teto está a 3,0   m do nível de suas mãos. Ele joga uma bola para cima, de modo que ela chega ao teto. a) Qual é a velocidade inicial da bola? b) Qual é o tempo necessário para a bola atingir o teto? No instante em que a primeira bola está no teto, o malabarista joga a segunda bola para cima com dois terços da velocidade inicial da primeira. c) Quanto tempo depois que a segunda bola é lançada, as duas bolas se cruzam? d) A que distância das mãos do malabarista elas se cruzam?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão uma bolinha é jogada para cima, então temos um lançamento vertical, cuja a altura máxima da bolinha será o teto da sala.

Para ajudar nas contas, vamos tomar + y para cima. Deste modo, conforme ela vai ganhando altura, ela está indo contra a gravidade, ou se, a bola se move com aceleração constante de - 9,80   m / s 2 .

Passo 2

  1. Queremos saber aqui a velocidade inicial da bola, mas não temos o tempo, então vamos utilizar a equação de Torricelli:
  2. v y 2 = v 0 y 2 + 2 a y ∆ y

    Isolando v 0 y

    v 0 y 2 = 2 a y ∆ y

    No teto, temos que:

    v y = 0 ∆ y = 3 m a y = - 9,8 m / s 2

    Substituindo os valores,

    v 0 y = 2 a y ∆ y = 2 ⋅ ( - 9,8 m / s 2 ) ⋅ 3 = 7,7 m / s

    Passo 3

  3. Como agora precisamos encontrar o tempo, t , vamos utilizar:
  4. v y = v 0 y + a y t

    Calculamos v 0 y = 7,7 m / s . Então:

    0 = 7,7 m / s + 9,8 m / s 2 t

    ⇒ t = 7,7 m / s 9,8 m / s 2 = 0,78 s

    Passo 4

  5. Precisamos que as duas bolas estejam na mesma altura ao mesmo tempo.
  6. Vamos deixar a primeira bola viajar para baixo a uma distância d   no tempo t . Como começa a partir de sua altura máxima, então v 0 y = 0 .

    Então temos que:

    d = v 0 y + 1 2 a y t 2

    d = 4,9 m / s 2 ⋅ t 2

    Passo 5

    A segunda bola tem:

    v 0 y = 2 3 7,7 m / s = 5,1 m / s

    E no tempo t a bola viaja para cima 3 m - d para estar no mesmo lugar com a primeira bola.

    Assim:

    y = v 0 y t + a y t 2 2

    ⇒ 3 m - d = 5,1 m / s ⋅ t - 4,9 m / s 2 ⋅ t 2

    Nós temos duas equações em dois desconhecidos, d e t .

    Assim, temos que:

    t = 0,59

    E

    d = 1,7 m

    Passo 6

  7. A distancia que se cruzam é dada por:

3 m - d = 1,3 m

Resposta

  1. v 0 y = 7,7 m / s
  2. t = 0,78 s
  3. t = 0,59
  4. 1,3m

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