A aceleração de uma partícula é dada por a_x(t) = -2,0 m/s + (3,0 m/s^3)t . a) Calcule a velocidade inicial v0x de modo que a partícula tenha a mesma coordenada x para t = 0 s e t = 4 s . b) Qual seria sua velocidade para t = 4,0s ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa integral, nós temos que lembrar a aceleração é a variação da velocidade pelo tempo.

a = v - v 0 t

Isolando v , ficamos com

v = v 0 + a t

v é a velocidade, v 0 é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o tempo.

Contudo nesse problema a aceleração não é constante. Ela é função de t .

Deste modo, precisamos integrar a x t para encontrar v x t e integrar v x t para encontrar x ( t ) .

v = v 0 + ∫ 0 t a x t d t

Vamos relembrar como calcular uma integral com potencia:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Passo 2

  1. O problema forneceu a equação de a x ( t )

a x t = - 2,0 m s + 3,0 m s 2 t

Vamos representa-la de forma genérica, como sendo

a x t = α + β t

Onde α = - 2,0   m / s e β = 3,0   m / s 2 .

Agora vamos para integral

v x = v 0 + ∫ 0 t a x t d t

v x = v 0 + ∫ 0 t α + β t d t

v x = v 0 + α t + β t 2 2

Feito! Agora integramos de novo para achar a posição,

x = x 0 + ∫ 0 t v x   d t

x = x 0 + ∫ 0 t v 0 + α t + β t 2 2 d t

x = x 0 + v 0 t + α t 2 2 + β t 3 6

Em t = 0 ⇒ x = x 0 .

Passo 3

Temos x = x 0 em t = 4 s , isso implica que:

v 0 t + α t 2 2 + β t 3 6 = 0

Então, substituindo t = 4 , α = - 2 e β = 3 , obtemos:

v 0 ⋅ 4 + - 2 ⋅ 16 2 + 1 6 3 4 3 = 0

v 0 = - 4   m / s

Passo 4

Com v 0 = 4 m / s calculado no item (a), podemos substituir na equação

v x = v 0 + α t + β t 2 2

que encontramos a partir da integração da função:

v x = v 0 + α t + β t 2 2

v x = - 4 + - 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 2 2

v x = 12 m / s

Resposta

  1. v 0 = - 4 m / s
  2. v x = 12 m / s
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