Enunciado

Uma mangueira de incêndio deve poder lançar água no topo de um prédio de 35,0   m de altura quando apontada para cima. A água entra na mangueira a uma taxa constante de 0,500 m 3 / s e sai por um esguicho redondo. (a) Qual é o diâmetro máximo que esse esguicho pode ter? (b) Se o único esguicho disponível possuir o dobro do diâmetro, qual é o ponto mais alto que a água atingirá?

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Nosso problema tem essa cara aqui:

Não repara por favor no tamanho do bombeiro em relação ao prédio hahaha Nessa questão, vamos usar a conservação de energia. Considerando o ponto 1 como nível do solo, no momento em que a água sai da mangueira, existe somente energia cinética da água:

K = m v 2 2

Show galera, só que olha o seguinte, como a mangueira é um tubo circular, a vazão de água pode ser descrita pela fórmula:

Q = A v

Onde Q é a vazão, A a área da seção transversal da mangueira, um círculo, e v a velocidade da água. Escrevendo a área de um círculo:

Q = π R 2 v

Q = π D 2 2 v

Q = π D 2 4 v

Isolando o v , temos:

v = 4 Q π D 2

Nossa energia cinética ganha a seguinte expressão:

K = m 4 Q π D 2 2 2 = m 16 Q 2 π 2 D 4 2 = 8 m Q 2 π 2 D 4

Agora, no ponto 2 , como a água vai perdendo velocidade até alcançar sua altura máxima, láááá em cima, ela não tem energia cinética, e sim só potencial gravitacional. Portanto:

E P G = m g h

Usando a conservação de energia, chegamos a:

E 1 = E 2

K = E P G

8 m Q 2 π 2 D 4 = m g h

8 Q 2 = π 2 g h D 4

D 4 = 8 Q 2 π 2 g h

Passo 2

Show pessoal, relacionamos o diâmetro do esguicho com as variáveis do problema! Agora é só substituir! Considerando g = 9,8   m / s 2 e tirando do enunciado:

Q = 0,5   m 3 / s

h = 35   m

Vamos ter:

D 4 = 8 ∙ 0,5 2 π 2 ∙ 9,8 ∙ 35 ≅ 8 ∙ 0,25 π 2 ∙ 343 ≅ 2 3385 ≅ 5,91 ∙ 10 - 4   m

D ≅ 5,91 1 4 ∙ 10 - 1   m

D ≅ 1,56 ∙ 10 - 1   m

D ≅ 15,6   c m

Passo 3

Agora, saca só o seguinte. Aletra b pede pra gente o ponto mais alto da água caso o esguicho disponível seja duas vezes maior que o calculado acima. Pra começar, vamos rearranjar a fórmula pra ficar em função de h :

D 4 = 8 Q 2 π 2 g h

D 4 π 2 g h = 8 Q 2

h = 8 Q 2 D 4 π 2 g

Show. Basta então na fórmula acima a gente substituir:

D → 2 D

E ficaremos com:

h = 8 Q 2 D 4 π 2 g → D → 2 D → h = 8 Q 2 2 D 4 π 2 g = 8 Q 2 16 D 4 π 2 g = 8 Q 2 D 4 π 2 g 16

D → 2 D → h → h 16

Resumo da história, dobrar o diâmetro implica em dividir a altura máxima por 16 . Como a altura máxima era 35   m e o diâmetro era de 15,6 cm

15,6 → 2 ∙ 15,6   c m → 35 → 35 16   m

15,6 → 31,2   c m → 35 → 2,19   m

Resposta

  1. 15,6   c m
  2. 2,19   m
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