Enunciado

Uma máquina, usando 1,00   m o l de um gás ideal, inicialmente em um volume de 24,6 L e a uma temperatura de 400 K , realiza um ciclo que consiste em quatro etapas: (1) uma expansão isotérmica à temperatura de 400 K , até o dobro de seu volume inicial, (2) um resfriamento, a volume constante, até a temperatura de 300 K , (3) uma compressão isotérmica até seu volume original, e (4) um aquecimento, a volume constante, até sua temperatura original de 400 K . Considere c v = 21,0 J / K . Esboce o ciclo em um diagrama P V e determine o seu rendimento.

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é desenhar o gráfico P × V ! Vai ficar assim, ó:

Passo 2

A gente quer a eficiência do sistema, ou seja, o rendimento da máquina térmica, ou seja, o trabalho do sistema sobre os calores quentes.

η = W Q q

Agora vamos refletir um pouco sobre a fórmula aí de cima. Tá vendo que B C e D A são isovolumétricas? Então não tem trabalho nesses dois processos. Beleza! Agora vamos ver quais calores são quentes. Em D A , não tem trabalho e a energia interna aumenta, já que a temperatura aumenta. Daí pela primeira lei, a gente vê que o calor em D A é quente. No processo A B , o gás realiza trabalho (ou seja, W < 0 ) e a energia interna não muda, então pela primeira lei, o calor de A B é quente. Show! Então a equação do rendimento fica:

η = W A B + W C D Q A B + Q D A

Passo 3

Bom, agora a gente parte pra conta! O trabalho na isotérmica é W = n R T l n V V 0 , e A B e C D são isotérmicas, olha só que coincidência!

Então:

W A B = n R T q l n V B V A

W C D = n R T f l n V D V C

Agora vamos pros calores!

Pro processo A B :

Δ U A B = Q A B - W A B = 0

Q A B = W A B = n R T q l n V B V A

Pro processo D A , que é isovolumétrico:

Q D A = n c V Δ T

O nosso rendimento então vai ser:

η = n R T q l n V B V A + n R T f l n V D V C   n R T q l n V B V A + n c v Δ T

Passo 4

Agora vamos mexer nos valores que temos do enunciado:

V B V A = 2

V D V c = 1 2

η = n R T q l n 2 + n R T f l n 1 2   n R T q l n 2 + n c v Δ T = n R T q l n 2 - n R T f l n 2   n R T q l n 2 + n c v Δ T

Divindo em cima e embaixo por n R l n ( 2 ) :

η = T q - T f T q + c v R l n 2 T q - T f

η = 400 - 300 400 + 21 8.314 × l n 2 400 - 300

η = 13.1 %

Resposta

η = 13.1 %

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