Enunciado

O deslocamento de uma a partir do equilíbrio é dado por x t = 0,40   c o s ⁡ ( 3,0   t + π / 4 ) , com x em metros e t em segundos. (a) Determine a frequência f e o período T deste movimento. (b) Encontre uma expressão para a velocidade da partícula como função do tempo. (c) Qual é a sua rapidez máxima?

Passo 1

O termo que multiplica a variável t (tempo) na equação da posição é a frequência angular do oscilador:

ω = 2 π f = 3,0

Então a frequência f é:

f = 3,0 2 π ≅ 0,48   H z

E o período é simplesmente o inverso de f :

T = 1 f = 2 π 3,0 = 2,1   s

Passo 2

(b) Para encontrar a velocidade a partir da posição, só precisamos calcular a derivada em relação ao tempo:

v = d d t x t = d d t 0,40 cos ⁡ 3,0   t + π 4

v = 0,40 3,0 - sen ⁡ 3,0   t + π 4

v = - 1,2 sen ⁡ ( 3,0 t + π / 4 )

Agora vamos ajustar as unidades de medida:

v = - 1,2 m s sen ⁡ 3,0 r a d s t + π 4

Passo 3

(c) Vamos olhar mais uma vez para a função da velocidade:

v = - 1,2 sen ⁡ ( 3,0 t + π / 4 )

Nós sabemos que a função seno varia apenas entre - 1 e 1 , então qual é a rapidez (nesse caso, o módulo da velocidade) máxima que esse oscilador atinge? É só calcular o caso em que o seno resulta em 1 ou - 1 :

v = - 1,2 ± 1 = 1,2   m / s

Resposta

(a) f = 0,48   H z e T = 2,1   s .

(b) v = - 1,2 m s sen ⁡ 3,0 r a d s t + π 4 .

(c) A rapidez máxima é v = 1,2   m / s .

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