Enunciado

Suponha que um poço profundo seja cavado na crosta terrestre perto de um dos polos, onde a temperatura da superfície é - 40 ° C , até uma profundidade, onde a temperatura é 800 ° C .

( a ) Qual é o limite teórico para a eficiência de uma máquina térmica operando entre as duas temperaturas?

( b ) Se toda a energia liberada na forma de calor da fonte fria fosse usada para derreter gelo que se encontra inicialmente a - 40 ° C , a que taxa água líquida a 0 ° C poderia ser produzida por uma usina de energia elétrica de 100 M W (trate-a como uma máquina térmica)?

O calor específico do gelo é 2220 J / k g . K ; o calor de fusão da água é 333 k J / k g . (Observe que, nesse caso, a máquina térmica opera efetivamente entre 0 ° C e 800 ° C . Uma energia liberada a - 40 ° C não pode aquecer nada acima de - 40 ° C .)

Passo 1

Olá pessoal, vamos treinar um pouco de máquina térmica? Bora lá!

Aqui o problema começa falando que esse poço ligando duas extremidades (que serviriam como fontes quente e fria) funcionaria como uma máquina térmica e pergunta a eficiência teórica.

Ora, a eficiência máxima de qualquer máquina é a eficiência de uma máquina de Carnot. Assim da fórmula para e C a r n o t temos:

e C a r n o t = 1 - T F T Q = 1 - 233 1073 = 0,78

e = 78 %

Passo 2

Aqui o problema nos pede a taxa com que se formaria água líquida se tivéssemos uma usina com potência de 100 M W e que toda energia liberada Q F fosse utilizada. Bom, então precisamos determinar a relação da massa com o calor Q F , a nova eficiência e (pois a máquina vai operar entre 0 ° C e 800 ° C ) e juntar tudo isso com a potência (que é trabalho por unidade de tempo). Vamos por partes?

  • Primeiro a nova enficiência: com as temperaturas da fonte quente e fria a 1073 K e 273 K respectivamente, temos:
  • e = 1 - 273 1073 = 0,74

  • Agora vamos relacionar a eficiência e com o trabalho (e consequentemente com a potência):
  • e = W Q Q = P . Δ t Q Q

  • Agora vamos relacionar esse calor da fonte quente, com a fonte fria, pois é ela quem vai ser responsável pela formação de água líquida. Como essa máquina se comporta como uma máquina de Carnot :

Q Q = Q F T Q T F

Vou juntar essas duas últimas:

e = P . Δ t Q F T Q T F

E reorganizando os termos temos:

Q F Δ t = P . T F T Q . e

Estamos quaaaase lá!

Passo 3

Vamos analisar e ver o que isso tudo significa:

Q F Δ t = P . T F T Q . e

Nós temos a taxa com que essa máquina cede calor pela fonte fria, certo? E esse calor cedido é responsável por produzir água líquida, certo?

Então agora precisamos determinar como a massa de água líquida se relaciona com esse calor fornecido.

Bom, como o gelo está a uma temperatura de - 40 ° C , ele primeiro precisa receber energia para elevar sua temperatura até o ponto de fusão. Usamos aqui o calor sensível Q = m . c . Δ   T   .

Depois, já com o gelo à temperatura de fusão, precisamos que ele derreta, sendo assim usamos o calor latente de fusão Q = m . L F .

Essas duas constantes c   e   L F são dadas no enunciado. L F = 333 k J / k g e c = 2,220 k J / k g . K .

Assim Q F vai ser:

Q F = m . c . Δ T + m . L F = m ( 2,22 . ( 273 - 233 ) + 333   ) = m ( 88,8 + 333 ) = 421,8.10 ³ m   J

Passo 4

Por último, vamos susbtituir a expressão para Q F (em função da massa m ) na expressão encontrada no início do passo 3 :

Q F Δ t = P . T F T Q . e

421,8   . 10 3 m Δ t = P . T F T Q . e

m Δ t = 100.10 6 . 273 1073 . 0,74.421,8   . 10 3

m Δ t = 81,51 k g / s

Resposta

a 78 %

b 81,51 k g / s

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