Enunciado

Mark McGwire bate uma bola de beisebol de forma que ela abandona o bastão com velocidade de 30,0   m / s formando um ângulo de 36,9 ° acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. a) Ache os dois instantes para os quais a altura da bola está a 10,0 m acima do nível inicial. b) Calcule o componente vertical e o componente horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados no item (a). c) Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola quando ela retorna ao nível inicial.

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos um batedor de baseball que rebate uma bola com velocidade inicial de 30 m / s a um ângulo de 36,9 ° com a horizontal.

A partir daí temos que achar os dois instantes para os quais a altura da bola está a 10,0 m acima do nível inicial, calcular o componente vertical e o componente horizontal da velocidade da bola em cada um dos dois tempos calculados no item (a), determinar o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola quando ela retorna ao nível inicial.

Muita coisa, não é?

Primeiro, vamos encontrar os componentes x   e y   da velocidade inicial.

Vamos adotar as coordenadas onde a direção + y é para cima, a direção + x está à direita e a origem está no ponto em que deixa o taco.

Temos que: a x = 0 a y = - g

Veja só!

Passo 2

Então, temos que:

v 0 x = v 0 cos ⁡ α 0 = 30 m / s ⋅ cos ⁡ 36,9 ° = 24 m / s

v 0 y = v 0 ⋅ sen ⁡ α 0 = 30 m / s ⋅ sen ⁡ 36,9 °  

Bora lá!

Passo 3

Utilizando a componente na vertical, e i x o   y :

Temos que: ∆ y = + 10 m / s v 0 y = 18 m / s a y = - g = - 9,8 m / s 2 e queremos saber o tempo, t , então vamos utilizar a equação:

∆ y = v 0 y ⋅ t + a y t 2 2

⇒ 10 m = 18 m / s ⋅ t + ( - 9,8 m / s 2 ) ⋅ t 2 2

⇒ 10 m = 18 m / s ⋅ t - 4,90 m / s 2 ⋅ t 2

⇒ 4,90 m / s 2 ⋅ t 2 - 18 m / s ⋅ t + 10 m = 0

Aplicando Bhaskara, temos que:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Sendo: a = 4,90 m / s 2 b = - 18 m / s c = 10 m

Portanto,

t = 18 m / s ± 18 m / s 2 - 4 ⋅ 4,90 m / s 2 ⋅ 10 m 2 ⋅ 4,90 m / s 2 s

t = 1837 s ± 1154 s

A bola está a uma altura de 10,0 acima do ponto em que deixou o bastão quando: t 1 = 0,683 s t 2 = 2,99 s .

No tempo mais cedo t 1 = 0,683 s a bola passa por uma altura de 10,0m à medida que sobe e, mais tarde t 2 = 2,99 s , passa por 10,0m em seu caminho.

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Sabemos que v x = v 0 x = 24 m / s , e o tempo todo, que a x = 0 .

Vamos calcular a velocidade para os dois tempos, t 1 e t 2 que encontramos no item (a), utilizando a equação:

v y = v 0 y + a y t

Para t 1 = 0,683 s :

v y = 18 m / s + ( - 9,8 m / s 2 ) ⋅   0,683 s = + 11,3 m / s

v y é positivo, o que significa que a bola está viajando para cima neste momento do caminho.

Para t 2 = 2,99 s

v y = 18 m / s + ( - 9,8 m / s 2 ) ⋅   2,99 s = - 11,3 m / s

v y é negativo, o que significa que a bola está viajando para baixo neste momento do caminho.

Bacana, não é?

Passo 5

Sabemos que v x = v 0 x = 24 m / s .

Vamos resolver para v y :

Temos que: a y = - g = - 9,8 m / s 2 v 0 = 18 m / s q u a n d o   a   b o l a   r e t o r n a   à   a l t u r a   o n d e   o   m o v i m e n t o   c o m e ç o u :   ∆ y = 0

Como não precisamos do tempo, vamos utilizar a equação de Torricelli:

v y 2 = v 0 2 + 2 a y ∆ y

⇒ v y = - v 0 y = - 18 m / s

Show?

Passo 6

Agora, podemos calcular o modulo e a direção da velocidade, v :

v = v x 2 + V y 2

v = ( 24 m / s ) 2 + ( - 18 m / s ) 2 = 30 m / s

Estamos quase lá!

Passo 7

E para sabermos a direção, calculamos:

tan ⁡ α = v y v x = - 18 m / s 24 m / s

α = tan - 1 ⁡ - 18 m / s 24 m / s = - 36,9 °

Ou seja, 36,9 ° abaixo da horizontal.

A velocidade da bola quando retorna ao nível em que saiu do bastão é de 30,0 m/s e é direcionada a um ângulo de 36,9 ° abaixo da horizontal.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. t 1 = 0,683 s t 2 = 2,99 s
  2. v x = 24 m / s
  3. v y = - 18 m / s

  4. v = 30 m / s e 36,9 ° abaixo da horizontal
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