Enunciado

19. Uma massa 1,50   k g oscilando em uma mola tem o deslocamento em função do tempo dado pela equação

x t = 7,40   c m cos ⁡ [ 4,16   s - 1 - 2,42 ]

Encontre ( a ) o tempo de uma vibração completa; ( b ) a constante da mola; ( c ) a velocidade máxima da massa; ( d ) a força máxima sobre a massa; ( e ) a posição, velocidade e aceleração da massa em t = 1,00   s ; ( f ) a força sobre a massa nesse instante.

Passo 1

Vamos então analisar a função fornecida pelo enunciado. A forma mais geral dessa função é a seguinte:

x t = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Comparando as duas funções é possível obter as seguintes informações.

ω = 4,16   r a d / s

ϕ = - 2,42

E que:

A = 7,40   c m = 0,074   m

Para encontramos o valor do período com as informações que temos, podemos usar a equação 13.12

T = 2 π ω

Como já sabemos o valor de ω , fica fácil de encontrar T .

Para acharmos a velocidade máxima, vamos usar a seguinte equação:

v m á x = ω A

Então, para encontramos o valor k , precisamos lembrar da seguinte relação:

ω = k m

Assim, isolando k , ficamos com:

k = ω 2 m

A força máxima podemos achar utilizando a fórmula da força elástica.

F e = - k x

Lembrando que a força máxima ocorre quando o corpo se encontra na amplitude da oscilação, então:

F m á x = - k A

Agora, para achar a posição, velocidade e aceleração no instante t = 1,00   s , vamos usar a função já fornecida pelo enunciado

x t = 7,40   c m cos ⁡ [ 4,16   s - 1 t - 2,42 ]

Para a posição, para a velocidade basta usar a seguinte função

v t = - ω A sin ⁡ ( ω t + ϕ )

Basta substituir o que conhecemos na função.

Para aceleração, como já teremos achado a posição, podemos usar a seguinte fórmula:

a x = - ω 2 x

Agora, o último item a ser encontrado, que é a força máxima no instante t = 1,00   s , já que sabemos a massa do objeto, basta usar a segunda lei de Newton utilizando a aceleração encontrada nesse instante.

Passo 2

Agora vamos achar quanto vale T , já que sabemos que:

T = 2 π ω

Assim, ficamos com:

T = 2 π 4,16

= 1,51   s

Passo 3

Agora vamos achar o valor de k , basta usar a seguinte fórmula mostrada no passo 1 .

k = ω 2 m

= 4,16 2 * 1,5

= 25,95   N / m

Passo 4

Vamos então agora achar a velocidade máxima, lembrando da fórmula:

v m á x = ω A

Como já temos o valor de ω e A , basta substituir na fórmula acima.

v m á x = 4,16 * 0,0 74

= 0 , 308   m / s

Passo 5

Agora podemos calcular a força máxima. Lembrando o que foi falado no passo 1 , temos:

F m á x = - k A

= - 25,95 * 0,074

= 1,92   N

Passo 6

Agora já temos tudo que precisamos para encontrar a posição, velocidade e aceleração em t = 1,00   s . Vamos começar com a posição, temos:

x t = 0,0 74   m cos ⁡ 4,16   s - 1 t - 2,42

⇒ x 1 = 0,0 74 cos ⁡ 4,16 * 1 - 2,42

= 0,0 74 cos ⁡ ( 1,74 )

= - 0,0125   m

Agora vamos encontrar a velocidade, primeiramente temos:

v t = - ω A sin ⁡ ω t + ϕ

⇒ v t = - 30,784 sin ⁡ ( 4,16 t + 2,42 )

Então para t = 1,00   s temos:

v 1 = - 30,784 sin ⁡ ( 4,16 * 1 - 2,42 )

= - 30,784 sin ⁡ ( 1,74 )

= 30,34   c m / s

Agora só falta a aceleração, e pela fórmula mencionada no passo 1 , temos:

a x = - ω 2 x

Sabendo que em t = 1,00   s temos que x = - 0,0125

Temos então:

a x ( 1 ) = - 4,16 2 * ( - 0,0125 )

= 0,216   m / s 2

Passo 7

Finalmente o último item, vamos achar a força máxima em t = 1,00   s , como já sabemos quanto vale a aceleração nesse ponto, podemos usar a forma mencionada no passo 1 .

F = m a x

= 1,5 ( 0,216 )

= 0,324   N

Resposta

( a )

T = 1,51   s

( b )

k = 25,95   N / m

( c )

v m á x = 0 , 308   m / s

( d )

F x = 1,92   N

( e )

x 1 = - 0,0125   m

v 1 = 30,34   c m / s

a x ( 1 ) = 0,216   m / s 2

( f )

F = 0,324   N

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