Enunciado

24. Uma animadora de torcida faz seu pompom oscilar em M H S com uma amplitude 18,0   c m e frequência igual a 0,850   H z . Ache: a ) o módulo da velocidade e da aceleração máxima; b ) o módulo da velocidade e da aceleração quando a coordenada do pompom é x = + 9,0   c m ; c ) o tempo necessário para ele se deslocar da posição de equilíbrio até o ponto x = 12,0   c m a parti do equilíbrio. d ) Quais das grandezas solicitadas nas partes a ,   ( b ) e ( c ) podem ser obtidas usando-se o método da energia da seção 13,3 e quais não podem? Explique.

Passo 1

A velocidade pedida no item ( a ) com base na conservação de energia mecânica:

E = K + U

Lembrando que, quando um objeto em M H S está na posição x = A , ele só tem energia potencial, logo:

E = 1 2 k A 2

Temos então que:

K + U = 1 2 k A 2

Para encontrar a velocidade máxima do pompom, basta lembrar que em um M H S a velocidade máxima acontece no ponto de equilíbrio onde U = 0 podemos considerar esse ponto em x = 0 , nada no enunciado nos impede de considerar esse ponto.

A velocidade no ponto x = 9,0   c m , pedida no item ( b ) também é obtida através da fórmula acida da conservação de energia.

Agora para achar aceleração máxima (item ( a ) ) e no mesmo ponto x mencionado acima (item ( b ) ), basta usar a segunda lei de Newton, já que sabemos que só existe a força que pode ser considerada elástica (já que é um M H S ) atuante no sistema, logo:

F R = m a = - k x

⇒ a = - k m x

⇒ a = - ω 2 x

Onde temos que ω = 2 π f , assim:

a = - 4 π 2 f 2 x

E para achar a energia total, basta substituir os valores que conhecemos na fórmula da energia total que comentei mais acima.

Para achar o intervalo de tempo que o pompom leva do ponto x = 0 até x = 12,0   c m , basta fazer

Δ t = t 1 - t 2

Onde t 1 para x 1 = 0 e t 2 para x 2 = 0,12   m

E vamos achar esses temos através da fórmula

x = A cos ⁡ ( ω t )

Passo 2

Vamos então encontrar os módulos da aceleração e da velocidade.

Começando com a aceleração temos:

a = - 4 π 2 f 2 x

Onde x = A , já que esse é o ponto com maior aceleração.

a m á x = - 4 π 2 f 2 A

= - 4 π 2 0,85 2 0,18

= - 4 π 2 * 0,7225 * 0,18

Então temos que:

a m á x = - 5,13   m / s 2

Como queremos o módulo, temos:

a m á x = 5,13   m / s 2

Agora vamos encontrar o módulo da velocidade máxima. Assim:

K + U = 1 2 k A 2

1 2 m v m á x 2 = 1 2 k A 2

⇒ v m á x 2 = k m A 2

⇒ v m á x = A k m

Lembrando que:

ω = k m

2 π f = k m

Então temos que:

v m á x = A 2 π f

Substituindo o que temos, ficamos com:

v m á x = 2 π 0,18 0,85

= 0,961   m / s

Passo 3

Agora para encontrar a velocidade e a aceleração em x = 0,09   m , basta fazer a mesma coisa que fizemos no item anterior, agora substituindo x = 0,09 .

Vamos começar com a aceleração, assim:

a = - 4 π 2 f 2 x

⇒ a = - 4 π 2 0,85 2 ( 0,09 )

Então temos que:

a = - 2,56   m / s 2

Agora vamos achar a velocidade nesse mesmo ponto.

K + U = 1 2 k A 2

1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2

⇒ m v 2 + k x 2 = k A 2

⇒ m v 2 = k A 2 - x 2

Então temos que:

v = k m A 2 - x 2

= 2 π ( 0,85 ) 0 , 18 2 - 0,0 9 2

= 5,34 0,0 324 - 0,00 81

= 0,832   m / s

Passo 4

Agora vamos descobrir os valores de t 1 para x 1 e t 2 para x 2 .

Vamos começar com t 1 :

x 1 = A cos ⁡ ω t 1

⇒ 0 = A cos ⁡ ω t 1

⇒ cos ⁡ ω t 1 = 0

Então temos que:

ω t 1 = π 2

O sinal é negativo, já que o pompom está indo para o lado positivo. Continuando:

t 1 = π 2 ω

= 1,571 ω

Agora para t 2 , temos:

x 2 = A cos ⁡ ω t 2

⇒ 0,12 = 0,18 cos ⁡ ω t 2

⇒ cos ⁡ ω t 2 = 0,6667

Então temos que:

ω t 2 = 0,841

⇒ t 2 = 0,841 ω

Sabendo que:

ω = 2 π f = 5,34

Então:

t 1 = 0,294   s

E

t 2 = 0,157   s

Assim nosso intervalo de tempo é:

Δ t = 0,294 - 0,157

= 0,137   s

Passo 5

A equação de conservação da energia relaciona v e x e F = m a relaciona a e x . Então a velocidade e aceleração podem ser encontradas pelo método da energia, mas o tempo não pode.

O tempo não pode ser obtido pelo método da energia já que a energia mecânica é constante durante todo movimento, logo não temos nenhuma variação temporal presente na fórmula.

Resposta

a

a m á x = 5,13   m / s 2

v m á x = 0,961   m / s

( b )

a = - 2,56   m / s 2

v = ± 0,832   m / s

( c )

Δ t = 0,137   s

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