Enunciado

37. a ) A massa molar do oxigênio O 2 é 32,0 g m o l . Qual é a energia cinética translacional média de uma molécula de oxigênio a uma temperatura de 300   K ? b ) Qual é o valor médio do quadrado de sua velocidade? c ) Qual é sua velocidade quadrática média? d ) Qual é o momento linear de uma molécula de oxigênio deslocando-se com essa velocidade? e ) Suponha que a molécula de oxigênio deslocando-se com essa velocidade choque-se de um lado para o outro entre as paredes opostas de um recipiente cúbico com aresta de 0,10   m . Qual é a força média exercida pelo gás sobre uma das paredes do recipiente? (Suponha que a velocidade da molécula seja ortogonal aos lados com os quais ela colide). f ) Qual é a força média por unidade de área? g ) Quantas moléculas de oxigênio deslocando-se com essa velocidade seriam necessárias para produzir uma pressão média de 1   a t m ? h ) Calcule o número de moléculas de oxigênio que realmente estão contidas em um recipiente desse tamanho a 300   K e com pressão de uma atmosfera. i ) A sua resposta do item h deve ser maior ou menos do que sua resposta do item g ? Qual é a origem dessa discrepância?

Passo 1

Eu me assustei quando vi o tamanho desse enunciado, e tenho certeza que você também!

Mas não se preocupe, com o conceito da seção 18.3 e conhecimento de alguns outros capítulos ela sai bonitinha. Parece um bicho de sete cabeças, mas vamos com calma que a gente chega lá.

Passo 2

a )   Sabemos pela equação 18.16 que:

1 2 m v 2 = 3 2 k T

Então é só substituir o valor de k e T :

1 2 m v 2 = 3 2 1,38 ⋅ 10 - 23 300 = 6,21 ⋅ 10 - 21   J

Passo 3

b )   Para acharmos o que a questão pede precisamos da velocidade:

1 2 m v 2 = 6,21 ⋅ 10 - 21   J  

Contudo não temos o valor de m , mas não se desespere pois é fácinho de achar pois já vimos que:

m = M N A

(Caso não lembre revise a seção 18.2)

m = 32,0 ⋅   10 - 3   6,022 ⋅ 10 - 23 = 5,314 ⋅ 10 - 26   k g / m o l

Então:

1 2 5,314 ⋅ 10 - 26 v m e d 2 = 6,21 ⋅ 10 - 21   →   v m e d 2 = 2 6,21 ⋅ 10 - 21 5,314 ⋅ 10 - 26 =   2,34 ⋅ 10 5 m 2 / s ²

Passo 4

c ) Aqui basta aplicar a equação 18.19

v q - m e d = v m e d 2 =   2,34 ⋅ 10 5   m 2 / s ² = 484   m / s

Passo 5

d ) O momento linear de uma molécula é dado por:

p = m v q - m e d = 5,314 ⋅ 10 - 26   k g 484   m / s =   2,57 ⋅ 10 - 23   k g ⋅ m / s

Passo 6

e ) Nós já aprendemos que:

F = ∆ p ∆ t

Então só precisamos achar a variação do momento e a variação do tempo na colisão, o que é bem simples.

O tempo de colisão com a parede é dado por:

t = 2 d v q - m e d = 2 0,10   m 484   m / s = 4,13 ⋅ 10 - 4   s

Como em uma colisão a mudança de direção vamos calcular ∆ p através de:

∆ p = 2 m v q - m e d = 2 2,57 ⋅ 10 - 23   k g ⋅ m / s = 5,14 ⋅   10 - 23   k g ⋅ m / s

(Colocamos o ∆ p multiplicado por 2 pois são duas colisões)

Juntado tudo:

F = 5,14 ⋅   10 - 23   k g ⋅ m / s 4,13 ⋅ 10 - 4   s = 1,24 ⋅ 10 - 19   N

Passo 7

f ) Quando o enunciado nos pede a força média por unidade de área, ele quer que a gente calcule a pressão e usaremos a equação 18.11 do livro, ou seja:

P = F A

Conseguimos F no exercício anterior e A podemos conseguir através da informação que o enunciado nos dar sobre as arestas, então:

P = 1,24 ⋅ 10 - 19   N 0,10   m 2 = 1,24 ⋅ 10 - 17   P a

Passo 8

g ) Sabemos que 1   a t m = 1,013 ⋅ 10 5   P a .

Se cada átomo faz uma pressão de 1,24 ⋅ 10 - 17 N , podemos dizer que:

1     a t m P q u e   c a d a   á t o m o   f a z = N á t o m o s → N á t o m o s = 1,013 ⋅ 10 5   P a 1,24 ⋅ 10 - 17   P a / á t o m o = 8,17 ⋅ 10 21   á t o m o s

Passo 9

h ) Usando a equação 18.18 temos que:

P V = N k T → N = P V k T = 1,013 ⋅ 10 5 0,10 3 ( 1,381 ⋅ 10 - 23 ) ( 300 ) = 2,45 ⋅ 10 22   á t o m o s

Passo 10

i ) Bem, é esperado que o resultado do item ( g ) seja menor já que o método utilizado por esse item foi utilizando a pressão que as moléculas fazem nas paredes através da força que elas realizam.

Mas o que vale notar é que a mesma molécula bate na parede mais de uma vez, logo temos a aparência de termos menos moléculas que na realidade para obter a pressão de 1   a t m , utilizando esse método.

Resposta

a

1 2 m v 2 = 6,21 ⋅ 10 - 21   J

b

  v m e d 2 =   2,34 ⋅ 10 5 m 2 / s ²

c

  v q - m e d = 484   m / s

d

p = 2,57 ⋅ 10 - 23   k g ⋅ m / s

e

F = 1,24 ⋅ 10 - 19   N

f

P = 1,24 ⋅ 10 - 17   P a

g

N á t o m o s = 8,17 ⋅ 10 21   á t o m o s

( h )

N = 2,45 ⋅ 10 22   á t o m o s

( i )

É esperado que o resultado de ( h ) seja maior que ( g )

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