Enunciado

A massa M está uniformemente distribuída ao longo de um disco de raio a . Determine o módulo, a direção e o sentido da força gravitacional entre o disco e a partícula m localizada a uma distância x acima do centro do disco (Figura 12.39 ). O seu resultado se reduz a uma expressão correta quando x assume valores muito elevados? (Sugestão: divida o disco em anéis finos concêntricos infinitesimais; a seguir, use a expressão deduzida no Problema 12.41 para a força gravitacional de cada anel e integre o resultado para achar a força total.)

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Vamos começar?

Vamos primeiro definir os diferenciais de área e de massa, já que vamos integrar esse negócio aí.

O diferencial de área de cada anel é: d A = 2 π r   d r .

E o diferencial de massa é um percentual da massa toda distribuída por toda área:

d M = M π a 2 d A

E substituindo d A ali de cima, temos o diferencial de massa em função do diferencial do raio (que é o que queremos, já que a força gravitacional tem a ver com o raio, sacou?)

d M = 2 M a 2 r d r

Passo 2

A distância dessa massa até um ponto do anel externo é x 2 + a 2 certo?

Então a força que uma massinha na ponta de fora desse anel vai ser assim:

d F G m d M x 2 + a 2

Mas isso ao longo de todo anel. Então temos que ver se alguma componente vai ser cancelada. Pra isso, vou fazer um desenho, saca só:

A componente da força que vai contribuir é a em vermelha no desenho, já a preta vai se cancelar.

E assumindo que o ângulo entre o vetor azul (força gravitacional) e a distância x vertical seja θ , a componente vertical ali em vermelho vai ir com o cosseno desse ângulo. E cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, né? Então a contribuição da força na integral vai ser a seguinte:

d F y = 2 d F c o s θ = 2 x x 2 + a 2 d F

O fator 2 é por causa das duas componentes ali, tá?

Daí o diferencial de força vai ficar assim:

d F y = 2 G M m x a 2 x 2 + a 2 3 2 r   d r

Passo 3

Agora é só integrar por todo comprimento de r que vai de 0 até o raio externo a :

F = ∫ 0 a d F = ∫ 0 a 2 G M m x a 2 x 2 + a 2 3 2 r   d r = 2 G M m x a 2 ∫ 0 a r d r x 2 + a 2 3 / 2

Agora consultando a tabela de integrais no fim do livro, temos o valor dessa belezinha aí:

F = 2 G M m x a 2 1 x - 1 x 2 + r 2 0 a = 2 G M m x a 2 1 x - 1 x 2 + a 2

E colocando 1 / x em evidência pra cancelar com aquele x ali no numerador ficamos com a seguinte expressão:

F = 2 G M m a 2 1 - x x 2 + a 2

E o sentido/direção é vertical para cima na direção da massa m .

E para x ≫ a , x x 2 + a 2 → 1 - 1 2 a x 2 , e a força fica assim:

F = 2 G M m a 2 1 - 1 + 1 2 a x 2 = 2 G M m a 2 a 2 2 x 2 = G M m x 2

Como deveria ser!!

Resposta

F = 2 G M m a 2 1 - x x 2 + a 2

F x ≫ a ≃ G M m x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

12.40. Uma barra delgada uniforme possui massa M e comprimento L. Uma pequena esfera uniforme de massa m é situada a uma distancia x de uma das extremidades da barra ao longo do eixo da barra (Figura
A massa M está uniformemente distribuída ao longo de uma linha de comprimento igual a 2 L . Uma partícula de massa m está localizada a uma distância a acima do centro da linha sobre sua bissetriz orto
Um fio uniforme de comprimento L e massa M está curvado em semicírculo. Calcule o módulo, direção e sentido da força gravitacional que o fio exerce sobre uma prticula de massa m situada no centro da c
Planetas não são uniformes por dentro. Normalmente eles são mais densos no nucelo e sua densidade vai descrevendo de dentro para fora té a superfície. Modele um planeta esfericamente simétrico, de mes