Enunciado

A massa M está uniformemente distribuída ao longo de uma linha de comprimento igual a 2 L . Uma partícula de massa m está localizada a uma distância a acima do centro da linha sobre sua bissetriz ortogonal (Ponto P da Figura 12.40 ). Ache os componentes perpendiculares e paralelos à linha da força gravitacional que a linha exerce sobre a partícula. O seu resultado se reduz a uma expressão correta quando a assume valores muito elevados?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos pra última questão do capítulo? Bora lá!

Começando por definir o diferencial de massa, que é aquele pedacinho de massa d m que está em um ponto d x da barra. Como ela é homogênea, então cada pedaço tem quantidade de massa igual, então podemos dizer que M / 2 L é constante! É apenas uma regra de três, veja:

A derivada da massa total da barra é:

M ⟶ d M

Assim como a derivada do comprimento é:

2 L   ⟶ d x

Se a barra é homogênea, então:

M 2 L = d M d x

Logo será nossa densidade linear:

d M = M 2 L d x

Passo 2

Se nós queremos encontrar a força gravitacional que a linha exerce sobre a partícula, conhecemos essa força e ela é dada por:

F = G   .   m 1   .   m 2 r 2

Onde a distância entre as duas massas ( m 1   e   m 2 ) é dada por r , então precisamos encontrar essa distância no nosso problema. Olha pra nossa figura novamente:

Vamos considerar um pedacinho de massa d m a uma distância x do centro da barra, você concorda comigo que por esse desenho que eu fiz aí em cima, a distância ao quadrado até esse pedaço de massa ( r 2 ) vai ser x 2 + a 2 , certo?

r 2 =   x 2 + a 2

Passo 3

Daí se diferenciarmos a força gravitacional em relação a massa, nós teremos:

F = G   .   m   .   M r 2

d F = G   . m   .   d M x 2 + a 2

E substituindo nosso diferencial de massa:

d M = M 2 L d x

Ficamos assim:

d F = G   .   m   .   M 2 L d x ( x 2 + a 2 )  

Mas a componente que vai sobrar é a componente vertical, não vai sobrar nenhuma componente horizontal F x . E sabemos (de outros carnavais kkk) que a força vertical ( F y ) é multiplicada por a / x 2 + a 2

d F y = 2   .   d F   .   c o s θ = 2 a x 2 + a 2 d F

Nós estamos multiplicando por 2, pois temos os dois lados da barra que são simétricos e compõem essa força vertical, não esquece disso!

Passo 4

Agora vamos juntar tudo isso e colocar na integral!

d F y = 2 a x 2 + a 2 d F = 2 a x 2 + a 2   . G   .   m   .   M 2 L d x ( x 2 + a 2 )      

Como já estou somando 2 vezes a força resultante, meus limites de integração nessa barra vão de 0 até L . Daí a integral da força fica assim ó:

F = ∫ 0 L 2 G   .   m   .   M 2 L a   d x x 2 + a 2 3 2

F = G   .   m   .   M   .   a L ∫ 0 L d x x 2 + a 2 3 / 2

E consultando numa tabela de integrais, ficamos com essa expressão aqui pra força:

F = G m M a L x a 2 x 2 + a 2 0 L

Substituindo os limites de integração:

F = G m M a L L a 2 L 2 + a 2 - 0

F = G   . m   .   M   .   L   .   a L   .   a 2 L 2 + a 2  

Cortando o L de cima com o L de baixo e a distância a que também estava no numerador e no denominador:

F = G m M a L 2 + a 2

Passo 5

Quando temos a ≫ L , podemos desprezar L 2 no denominador, e aquela raiz ali fica parecendo a 2 = a , daí a força fica com uma cara bem conhecida:

F = G m M a a 2 = G m M a . a = G m M a 2

Como é o esperado!

Resposta

F = G m M a L 2 + a 2

F a ≫ L = G m M a 2

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