Enunciado

12.40. Uma barra delgada uniforme possui massa M e comprimento L. Uma pequena esfera uniforme de massa m é situada a uma distancia x de uma das extremidades da barra ao longo do eixo da barra (Figura 12.34). a) Calcule a energia potencial gravitacional do sistema barra-esfera. Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando a distância entre a barra e a esfera for igual ao infinito. Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L. (Sugestão: Use o desenvolvimento em série de potencias da função ln(1+x) indicado no Apêndice B.) b) Use a relação F x = - d U d x para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pela barra sobre a esfera (veja Seção 7.4). Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L.

Passo 1

Uma propriedade interessante que a gente pode usar aqui é que a força gravitacional da barra é a mesma coisa que a força gravitacional de vários anéis de comprimento d l que compõe a barra somadas. Como a barra é uniforme, a gente pode calcular a massa da barra em qualquer ponto fazendo

m = l ρ

Quando l = L , então m = M . Veja, a densidade pode ser calculada como

ρ = M L

Então

m = l   M L

Logo quando l = L , a gente corta a distância e m = M .

Temos então uma equação para a massa. Vamos colocar no modo diferencial, porque queremos cortar a barra em vários anéis de comprimento muito pequeno

d m = d l   M L

Agora a gente aplica isso na equação da energia potencial

d U = - G m   d m l + x

Então

d U = - G m M L d l l + x

Agora a gente pode integrar

U = - G m M L ∫ 0 L d l l + x

Use a substituição u = l + x .

Essa integral resulta em

U = - G m M L ln ⁡ L + x - ln ⁡ x

Agora vamos manipular um pouco mais

U = - G m M L ln ⁡ L + x x

A gente coloca 1 x em evidência (dentro do argumento do ln).E isso vai dar

U = - G m M L ln ⁡ 1 + L x

Essa é a potencial gravitacional do sistema.

Passo 2

Agora vamos ver o que acontece quando x ≫ L .

Bom se isso acontece, então

L x → 0

Logo

ln ⁡ 1 + L x → ln ⁡ 1 = 0

Então

U → 0

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Vamos usar a equação que o enunciado pede

F x = - d U d x

Bom, a gente tem U

F x = - d d x - G m M L ln ⁡ 1 + L x

Vamos colocar a constante para fora da derivada

F x = G m M L d d x ln ⁡ 1 + L x

Para essa derivada a gente pode usar a regra da cadeia

u = 1 + L x

Então

d d u ln ⁡ u ⋅ d d x 1 + L x = d d x ln ⁡ 1 + L x

Agora a gente faz essas derivadas mais simples

d d u ln ⁡ u = 1 u = 1 1 + L x

E

d d x 1 + L x = - L x 2

Então

d d x ln ⁡ 1 + L x = 1 1 + L x ⋅ - L x 2

A gente pode simplificar isso

1 1 + L x ⋅ - L x 2 = - L x x + L

Então

F x = G m M L - L x x + L

Isso vai dar

F x = - G m M x 2 + L x

Passo 4

Agora vamos ver o que acontece se x ≫ L .

O denominador se aproxima de x 2 , e ai ficamos com

F x = - G m M x 2

Que é justamente o que esperávamos que acontecesse.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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