Enunciado

12.41. Considere o corpo em forma de anel indicado na Figura 12.35. Uma partícula de massa m é colocada a uma distancia x do centro do anel ao longo de seu eixo e perpendicularmente ao seu plano. A) Calcule a energia potencial gravitacional U desse sistema. Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando os dois objetos estiverem muito distantes. B) Mostre que o resultado da parte (a) se reduz ao esperado quando x for muito maior do que o raio a do anel. C) Use a relação F x = d U d x para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pelo anel sobre a partícula. D) Mostre que o resultado da parte (c) se reduz ao esperado quando x for muito maior do que a. e) Quais são os valores de U e de F x quando x=0? Explique por que esses resultados fazem sentido.

Passo 1

Então a gente tem a seguinte situação

Agora imagina que a gente vai calcular a distância de c

ada segmentozinho do anel até a massa. Essa distância vai ser igual para todos os pontos do anel. Vai ser a hipotenusa de um triângulo com os catetos a e x

Então toda distância pode ser calculada como

l = a 2 + x 2

E como o anel tem massa total igual a soma de todas as massas dos segmentos de anel que a gente separou, a energia potencial fica assim

U = - G M m x 2 + a 2

Passo 2

Agora no item (b) a gente quer mostrar que se x ≫ a o resultado se reduz ao esperado. Mas o que é mesmo que a gente espera que aconteça? Bom o que vai acontecer é que vai se aproximar da energia potencial de uma esfera como a Terra.

Bom se x ≫ a então

x 2 + a 2 → x 2 = x

Então fica

U = - G M m x

Que é a energia potencial de uma esfera.

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Vamos usar a equação que o enunciado pede

F x = - d U d x

Bom, a gente tem U

F x = - d d x - G M m x 2 + a 2

Vamos colocar a constante para fora da derivada

F x = G m M d d x 1 x 2 + a 2

Para essa derivada a gente pode usar a regra da cadeia

u = x 2 + a 2

Então

d d u 1 u 1 2 ⋅ d d x x 2 + a 2 = d d x 1 x 2 + a 2

Agora a gente faz essas derivadas mais simples

d d u 1 u 1 2 = - 1 2 u 3 2 = - 1 2 x 2 + a 2 3 2

E

d d x x 2 + a 2 = 2 x

Então

d d x 1 x 2 + a 2 = - 1 x 2 + a 2 2 ⋅ 2 x

Então

F x = G m M - 2 x 2 x 2 + a 2 3 2

Isso vai dar

F x = - G m M x x 2 + a 2 3 2

Passo 4

Agora vamos ver o que acontece se x ≫ a . Esse é o item (d).

O denominador se aproxima de

x 2 3 2 = x 3

Então ficamos com

F x = - G m M x x 3

A gente simplifica o x e temos justamente o resultado que esperamos

F x = - G m M x 2

Passo 5

Finalmente chegamos no último item.

Vamos ver o que acontece quando x = 0 .

F x = - G m M ⋅ 0 0 2 + a 2 3 2 = 0

E

U = - G M m 0 2 + a 2 = - G M m a

Agora vamos ver por que isso acontece.

Quando x = 0 a massa está exatamente no centro do anel

Esse é o anel visto de cima com a massa no centro. Agora imagina as forças. Cada pequeno segmento do anel vai atrair a massa para sim, então fica algo assim

No final, todas as forças se cancelam.

Agora vamos ver a energia potencial.

Bom quando a pequena massa está no centro do anel, ela está a uma distância exata a de qualquer ponto do anel. Quando você soma todas essas energias, temos

U = - G M m 0 2 + a 2 = - G M m a

Resposta

  1. U = - G M m x 2 + a 2

c)   F x = - G m M x x 2 + a 2 3 2

e) F x = 0

U = - G M m a

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