Enunciado

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Um mecanismo em forma de ioiô, montado em um eixo horizontal sem atrito, é usado para levantar uma caixa de 30   kg , como mostra a figura abaixo. O raio externo R da roda é 0,5   m e o raio r do cubo da roda é 0,20   m . Quando uma força horizontal F → constante de módulo 140   N é aplicada a uma corda enrolada na roda, a caixa, que está pendurada em uma corda no cubo, tem uma aceleração para cima de módulo 0,8   m/s² . Qual é o momento de inércia do mecanismo em relação ao eixo de rotação?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Bora resolver essa questão? A imagem que o enunciado nos dá, é essa aqui:

Então primeira coisa é analisar o que está acontecendo no sistema. Temos uma força F → que faz o sistema se movimentar para cima e uma força peso ( P → ), aplicada na caixa, diretamente para baixo. Essas duas forças produzem rotações em sentidos contrários, sendo assim, devemos nos atentar ao sinal delas. A corda também está sob ação de uma tração T , atuando somente o eixo y , tal que:

T - P = m a

T - m g = m a

Logo:

T = m g + a

Onde a é a aceleração resultante dada pelo enunciado como a = 0,8   m/s² . Xuxu beleza? Então bora lá ver que que acontece nessa brincadeira!!

Passo 2

Agora uma equação que nos fornece uma relação com o momento de inércia e a força resultante, é a equação para o torque, dada como:

τ → r e s = I α → r e s

Onde α → r e s é a aceleração angular resultante, expressa por:

α → r e s = a r

Já o torque, pode ser escrito como produto entre as forças e o raio que elas atuam, de forma que:

τ r e s = F . R - T . r

Onde F é a força aplicada na horizontal e T é a tração no fio.

Passo 3

Então juntando todas essas informações, obtemos que:

τ → r e s = I α → r e s

F . R - T . r = I a r

Dando mais uma arrumadinha:

F . R - m r g + a = I a r

De forma que colocando I em evidência, obtemos:

I = F R r - m r 2 g + a a

Substituindo os valores:

I = 140 0,5 0,2 - 30 0,2 2 9,8 + 0,8 0,8

I s i s t e m a = 1,6   kg.m²

Resposta

I s i s t e m a = 1,6   kg.m²

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