Enunciado

79. Medições muito acuradas são feitas durante a corrida olímpica de 100   m e t r o s rasos. Um modelo simples, mas razoável, da aceleração de um corredor revela que este se acelera a 3,6   m / s ² durante 3 1 3   s , depois se mantém correndo com velocidade constante até cruzar a linha de chegada.

  1. Qual é a duração de uma corrida para um velocista para o qual este modelo seja adequado?
  2. Um velocista desses poderia fazer uma corrida mais veloz acelerando-se mais no início e, assim, atingindo a velocidade máxima mais cedo. Se a velocidade máxima do velocista for a mesma que a do item anterior, que aceleração seria necessária para que ele corresse os 100   m e t r o s rasos em   9,9   s ?
  3. Em que percentual o velocista deveria aumentar sua aceleração a fim de diminuir o seu tempo em 1 % ?

Passo 1

O enunciado nos diz que o corredor tem uma aceleração a 0 = 3,6   m / s ² em t 0 = 0 , e depois se mantém correndo com velocidade constante, ou seja, depois de t 1 = 3 1 3   s temos que a 1 = 0

Vamos utilizar as equações cinemáticas com aceleração constante nos dois momentos ( t 0 e t 1 ), segundo a tabela 2.2

Para saber qual vamos usá-las temos que analisar o que o enunciado pede e o que ele nos dar, mas fica de boa que vamos analisar isso devagar.

Ah, outra coisinha vamos facilitar um pouco lembrando que:

3   1 / 3 = 3 ⋅ 3 + 1 3 = 10 3

Passo 2

Vamos juntar agora todas as informações:

O corredor vai de x 0 até x 1 com aceleração constante chegando em x 1 em t 1 = 10 / 3   s

x 0 = 0 , v 0 = 0 , t 0 = 0 , a 0 =   3,6   m / s ²    

x 1 =   ? , v 1 = ?   , t 1 = 10 / 3   s , a 1 = 0

Depois de x 1 até x 2 , sem acelerar, chegando em x 2 em t 2 = ? .

x 1 =   ? , v 1 = ?   , t 1 = 10 / 3   s

x 2 =   100   m , v 2 =   ?   , t 2 = ? , a 1 = 0

Como o percurso de x 1 para x 2 o corredor faz sem acelerar, podemos afirmar que v 1 = v 2 .

Prontinho, vamos começar nossa solução!

Passo 3

a ) Nesse item o enunciado quer que a gente descubra o tempo total da corrida, ou seja, temos que descobrir quem é t 2 .

Através da equação 2.20 temos que:

x 2 = x 1 + v 1 t 2 - t 1 + 1 2 a 1 ( t 2 - t 1 ) ²

Substituindo os valores:

100   m = x 1 +   v 1 t 2   - 10 3   s - 1 2 ⋅ 0 t 2   - 10 3   s 2   →

  100   m = x 1 +   v 1 t 2   - 10 3   s → t 2 = 100   m - x 1 v 1 + 10 3  

Porém não sabemos quem é x 1 nem v 1 .

Passo 4

Achando x 1 :

Vamos descobrir usando a mesma equação na primeira parte do percurso.

x 1 = x 0 + v 0 t 1 - t 0 + 1 2 a 0 ( t 1 - t 0 ) ²

Substituindo os valores:

x 1 = 0   m + 0 ⋅ 10 3   s - 0   s + 1 2 3,6     m / s 2 10 3   s - 0   s 2 = 20   m  

Achando v 1 :

A equação que iremos usar será a equação 2.18 , ou seja:

v 1 = v 0 + a 0 t 1 - t 0

Substituindo os valores:

v 1 = 0 + 3,6     m / s 2 10 3   s - 0 = 12   m / s

Passo 5

Vamos substituir o valor de x 1 e v 1 na última equação do Passo 3 e conseguir nossa resposta.

t 2 = 100   m - x 1 v 1 + 10 3 = 100   m - 20   m 12   m / s + 10 3 = 10   s

Item a ) resolvido.

Vamos para o próximo.

Passo 6

b ) Sabemos que a velocidade máxima do velocista é v 1 = 12   m / s .

Para resolver esse item temos que saber para qual aceleração inicial ( a 0 ) que corredor precisará ter ele vai alcançar a sua velocidade máxima em menos. Sendo assim, para descobrir essa a 0 temos que saber qual é esse tempo ( t 1 ) .

Vamos começar usando a equação 2.18 .

v 1 = v 0 + a 0 t 1 - t 0

Substituindo os valores:

12   m / s = 0 + a 0 t 1 - 0 → t 1 = 12   m / s a 0

Passo 7

Descobrimos t 1 no passo anterior, vamos substitui-lo na equação 2.20 em relação a primeira parte do percurso.

x 1 = x 0 + v 0 t 1 - t 0 + 1 2 a 0 t 1 - t 0 2 = 1 2 a 0 12   m / s a 0 2

Agora só nos falta descobrir quem x 1 , e vamos obter usando a mesma equação agora para segunda parte do percurso.

x 2 = x 1 + v 1 t 2 - t 1 + 1 2 a 1 t 2 - t 1 2

Ou seja:

100   m = 1 2 a 0 12   m / s a 0 2 + 12   m / s 9,9   s - 12   m / s a 0 + 0 → a 0 = 3,8   m / s ²

Prontinho, item b ) resolvido.

Passo 8

c ) No item a ) e b ) queríamos diminuir o tempo do corredor de 10   s para 9,9   s . Isso significa diminuir 1 % do tempo de 10   s . Para isso foi necessário aumentar a aceleração inicial.

Então para sabermos o percentual do aumento dessa aceleração precisamos usar apenas um cálculo de porcentagem:

a 9,9 s - a 10   s a 10   s   ⋅ 100 % = 3,8 - 3,6 3,6   ⋅ 100 % = 5,6 %      

Resposta

( a )

t 2 = 10   s

( b )

a 0 = 3,8   m / s ²

( c )

5,6   %

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