Enunciado

Um medidor capacitivo de pressão é mostrado na Figura 24 - 41 . Cada placa tem uma área A . As placas estão separadas por um material que tem constante dielétrica k , espessura d e um módulo de Y o u n g Y . Se um aumento de pressão ∆ P é aplicado às placas, deduza uma expressão para a variação na capacitância.

Passo 1

A capacitância sempre pode ser medida por...

C = ε A d

Mas repare que aplicando um ∆ P de pressão ali, vai haver compressão no material!

De acordo com a nossa teoria sobre Deformação e a Lei de Hooke, podemos determinar a variação no distanciamento d das placas por...

∆ d = F d A Y   →

Onde F / A é a pressão P em cima das placas. Então, a partir de agora, vamos deixar de lado a parte do capacitor em si e vamos trabalhar um pouco com essa expressão para determinar compressão (variação de d ) do material, pode ser?

Passo 2

Para facilitar, vamos considerar que a pressão inicial era 0 , isto é, no inicio não tinha força nenhuma na placa. De repente surge uma força F ...

d 1 - d = F d A Y   →

Onde d 1 representa o novo distanciamento das placas.

d 1 = F d A Y + d

F / A que aparece, representa a variação da pressão ∆ P

d 1 = F d A Y + d

d 1 = d Y ∆ P + d

Passo 3

Então, a capacitância antes da compressão era de...

C = ε A d       o u         d = ε A C

Depois da compressão ela passa a ser...

d 1 = ε A C 1  

De modo que...

d 1 - d = ε A C 1 - ε A C   →

Substituindo o resultado do passo anterior...

ε A C 1 - ε A C = d Y ∆ P   →

1 C 1 - 1 C = d ⋅ ∆ P ε Y A   →

C C C 1 - C 1 C C 1 = d ⋅ ∆ P ε Y A   →

C - C 1 C C 1 = d ⋅ ∆ P ε Y A   →

Então...

- ∆ C C C 1 = d ∆ P ε Y A   →

∆ C = - d ∆ P ε Y A C C 1 →

∆ C = - d ∆ P ε Y A ⋅ ε A d ⋅ ε A d 1

Cancelando os termos que dá para cancelar...

∆ C = - ∆ P Y ⋅ ε A d 1

Agora substituindo o d 1 pela expressão do passo 2...

d 1 = d Y ∆ P + d

∆ C = - ∆ P Y ⋅ ε A d Y ∆ P + d

Simplificando...

∆ C = - ∆ P ε A d ∆ P + Y d

Então essa representa a variação da capacitância, saca? Se você quiser, podemos ainda associar ε como ε 0 , já que a gente sabe que as duas permissividades estão relacionadas com a constante dielétrica k por...

∆ C = - ∆ P k ε 0 A d ∆ P + Y d

O sinal de menor é porque o ∆ P é negativo por se tratar de uma compressão, mas a capacitância aumenta com ∆ P .

Resposta

∆ C = - ∆ P k ε 0 A d ∆ P + Y d

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