Enunciado

No método de Rüchhardt para medir γ = C p / C V do ar, usa-se um grande frasco com um gargalo cilíndrico estreito de raio a , aberto para a atmosfera ( p 0 = pressão atmosférica), no qual se ajusta uma bolinha metálica de raio a e massa m . Na posição de equilíbrio O da bolinha, o volume de ar abaixo dela no frasco é V . (a) Calcule a força restauradora sobre a bolinha quando ela é empurrada de uma distância x ara baixo a partir do equilíbrio, o movimento sendo suficientemente rápido para que o processo seja adiabático. Mostre que a bolinha executa um movimento harmônico simples e calcule o período τ em função de a , m , V , p 0 e γ . (b) Numa experiência em que a = 0,5   c m , m = 10   g , V = 5   l , p 0 = 1   a t m , o período observado é τ = 1,5   s . Determine o valor correspondente de γ para o ar.

Passo 1

(a) Quando a bolinha desce pelo gargalo, ela aumenta a pressão no interior do recipiente. Essa diferença de pressão faz a bolinha subir novamente até que a pressão seja reduzida mais uma vez, e o ciclo se repete.

Vamos então começar calcular o que acontece com a pressão quando a bolinha desce por uma distância x .

Inicialmente, a pressão total agindo sobre o gás é:

P i = p r e s s ã o   a t m o s f é r i c a + p r e s s ã o   d o   p e s o   d a   b o l i n h a

P i = p 0 + m g π a 2

E para calcular a pressão depois de um processo adiabático:

P i V i γ = P f V f γ

P f = P i   V i V f γ

Então precisamos calcular o volume V f quando a altura desce por uma pequena altura x .

Passo 2

Aqui vamos fazer uma aproximação, que deve ser segura quando x é pequena o suficiente:

V f = V i - π a 2 x

Então, substituindo na equação de cima:

P f = P i   V i V i - π a 2 x γ = P i   V i - π a 2 x V i - γ

P f = P i 1 - π a 2 x V i - γ

E agora vamos usar a seguinte aproximação:

1 + t n ≈ 1 + n t

Onde t = - π a 2 x / V i e n = - γ :

P f ≈ P i 1 + γ π a 2 x V i

Beleza, agora sabemos como a pressão varia.

Passo 3

Vamos escrever isso com a segunda lei de Newton:

∑ F = p e s o   d a   b o l a + d i f e r e n ç a   d e   p r e s s ã o

E como ∑ F = m x ¨ :

m x ¨ = m g + p o - P f π a 2

m x ¨ = m g + p o - P i 1 + γ π a 2 x V i π a 2

m x ¨ = m g + p o - P i π a 2 - P i γ π 2 a 4 x V i

Para colocar essa expressão na forma geral do oscilador harmônico, só precisamos reorganizar um pouco:

x ¨ + P i γ π 2 a 4 m V i x = K

E do lado direito da equação ficamos com uma constante com a qual não precisamos nos preocupar, já que não interfere na nossa frequência ω :

ω = P i γ π 2 a 4 m V i = π a 2   P i γ m V i

E como τ = 2 π / ω :

τ = 2 a 2   m V i P i γ

Onde P i = p o + m g π a 2 :

τ = 2 a 2   m V i p o + m g π a 2 γ

Passo 4

(b) Agora vamos usar os valores que foram dados no enunciado para encontrar γ . Primeiro vamos isola-lo na fórmula que acabamos de demonstrar.

Primeiro elevamos os dois lados ao quadrado:

τ 2 a 4 4 = m V i P i γ

E depois é só reorganizar:

γ = 4 m V i P i τ 2 a 4

E substituir com a fórmula para P i :

γ = 4 m V i p o + m g π a 2 τ 2 a 4

E colocando os valores numéricos, lembrando de converter para k g , m 3 e P a :

γ = 4 0,010 5.10 - 3 0,005 4 1,5 2 10 5 + 0,010 9,81 π 0,005 2 = 1,4

Resposta

(a) O período de oscilação é dado por τ = 2 a 2   m V i p o + m g π a 2 γ .

(b) γ = 1,4 .

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