Enunciado

Missão impacto profundo. Em julho de 2005, a missão “Impacto Profundo” da NASA espatifou uma sonda de 372   k g contra o cometa Tempel 1, atingindo a superfície a 37000   k m / h . A velocidade escalar original do cometa nesse instante era de aproximadamente 40000   k m / h , e sua massa foi estimada na ordem de 0,10   a   2,5 . 10 14   k g . Use o menor valor da massa estimada.

a) Qual variação na velocidade do cometa essa colisão produziu? Essa variação seria perceptível?

b) Suponha que esse cometa fosse atingir a Terra e se fundir com ela. Em quanto ele alteraria a velocidade do nosso planeta? Essa mudança seria perceptível? (A massa da Terra é 5,97.10 27   k g ).

Passo 1

a) Então pessoal, para resolvermos essa questão precisaremos utilizar o conceito de momento linear. Mais especificamente, o que precisaremos aplicar aqui é a lei de conservação de momento linear. Como a questão não nos informa, para facilitar nosso problema, vamos considerar que não há forças externas atuando sobre o sistema, tudo bem?

Essa questão é muuuuito sutil por conta de uma coisinha só, galera! A questão não indica isso, mas as velocidades de 37000   k m / h e 40000   k m / h são velocidades relativas aos referenciais que a questão está tratando, ok? Se não fosse assim, a resolução seria inviável! Utilizando a lei de conservação do momento linear, teremos:

m A . v A 1 x + m B . v B 1 x = m A + m B . v 2 x   ( e q .   1 )

Mas o que são esses termos aí? O que significam?

m A = 372   k g = massa da sonda;

m B = 0,1.10 14   k g = massa do cometa;

v A 1 x =   ? = velocidade inicial da sonda;

v B 1 x =   ? = velocidade inicial do cometa;

v 2 x =   ? = velocidade do conjunto após a colisão.

Vale ressaltar que as velocidades estão com ponto de interrogação exatamente pelo motivo que comentei mais acima, beleza? Bora lá!

Passo 2

Como a questão pede a variação de velocidade que o COMETA sofreu, então temos que descobrir o seguinte:

∆ v = v 2 x - v B 1 x   ( e q .   2 )

Mas o que seria v 2 x ? Utilizando a equação 1, teremos:

m A . v A 1 x + m B . v B 1 x = m A + m B . v 2 x

v 2 x = m A . v A 1 x + m B . v B 1 x m A + m B

Substituindo v 2 x na equação 2:

∆ v = m A . v A 1 x + m B . v B 1 x m A + m B - v B 1 x

∆ v = m A . v A 1 x m A + m B + m B . v B 1 x m A + m B - v B 1 x

∆ v = m A . v A 1 x m A + m B + v B 1 x m B m A + m B - 1

Fazendo m.m.c no segundo membro da soma e simplificando o que for possível, teremos:

∆ v = m A . v A 1 x m A + m B + v B 1 x m B - m A - m B m A + m B

∆ v = m A . v A 1 x m A + m B - m A . v B 1 x m A + m B

Colocando os termos semelhantes em evidência, teremos:

∆ v = m A m A + m B v A 1 x - v B 1 x

Passo 3

Ok! Foi difícil, mas chegamos em uma expressão bem simplificada para a variação de velocidade que o cometa sofreu! Aqui que aparece a sutileza da questão: o que seria esse termo v A 1 x - v B 1 x ? Esse termo é a velocidade relativa da sonda em relação ao cometa, que é 37000   k m / h . No entanto, se inserirmos esse termo positivo, implicaria que o cometa ganhou velocidade, o que é inviável nesse caso. Sendo assim, teremos:

∆ v = 372 372 + 0,1.10 14 - 37000

∴ ∆ v ≅ - 1,4.10 - 6   k m / h

O resultado é um número muuuuito pequeno para a escala que estamos analisando. Dessa forma, podemos concluir que essa variação não seria perceptível!

Passo 4

b) Para essa questão, o raciocínio é literalmente o mesmo que o da anterior! A diferença é que os referenciais mudaram: o que antes era a sonda, agora é o cometa; e o que antes era o cometa, é a terra! Sendo assim, podemos utilizar a mesma equação que encontramos no passo 2, se liga:

∆ v = m A m A + m B v A 1 x - v B 1 x

Mas agora quanto vale a velocidade relativa? Vale 40000   k m / h , conforme cedido pelo enunciado. Substituindo, teremos:

∆ v = 0,1.10 14 0,1.10 14 + 5,97.10 24 - 40000

∴ ∆ v ≅ - 6,7.10 - 8   k m / h

O resultado é um número muuuuito pequeno para a escala que estamos analisando. Dessa forma, podemos concluir que essa variação também não seria perceptível!

Resposta

a) ∆ v ≅ - 1,4.10 - 6   k m / h  

b) ∆ v ≅ - 6,7.10 - 8   k m / h

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