Enunciado

Um modelo de foguete se move no plano x y (o sentido positivo do eixo vertical O y é de baixo para cima). A aceleração do foguete possui os componentes a x t = α t 2 e a y t = β - γ t , onde α = 2,5 m / s 4 , β = 9   m / s 2 e γ = 1,4   m / s 3 . Para t = 0 , o foguete está na origem e possui velocidade, sendo v 0 x = 1,0   m / s e v 0 y =   7,0   m / s .

a) Determine o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo.

b) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?

c) Faça um desenho da trajetória do foguete.

d) Qual o deslocamento horizontal do foguete quando ele retorna para o ponto y = 0 ?

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema temos um foguete que se move no plano x y . A aceleração do foguete possui os componentes a x t = α t 2 e a y t = β - γ t , onde α = 2,5 m / s 4 , β = 9   m / s 2 e γ = 1,4   m / s 3 . Para t = 0 , o foguete está na origem e possui velocidade, sendo v 0 x = 1,0   m / s e v 0 y =   7,0   m / s .

A partir daí queremos determinar o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo, a altura máxima atingida pelo foguete, um esquema da trajetória do foguete e qual o deslocamento horizontal do foguete quando ele retorna para o ponto y = 0 .

Parece complicado?

Vamos começar definindo o vetor aceleração...

a → = 2,5 t 2 x → + 9 - 1,4 t y →

Certo? Veja só!

Passo 2

A aceleração é a derivada temporal da velocidade, então temos:

d v → d t = 2,5 t 2 x → + 9 - 1,4 t y →

Se multiplicarmos por d t dos dois lados podemos integrar e assim achar uma expressão para a velocidade em função do tempo. A ideia vai ser semelhante para encontrar a posição. Mas daqui a pouco a gente vê isso. Primeiro vamos achar v ( t ) :

v → t = ∫ 0 t 2,5 t 2 x → + 9 - 1,4 t y → d t

v → t = 2,5 t 3 3 + v 0 x x → + 9 t - 1,4 t 2 2 + v 0 y y →

Substituindo os valores temos:

v → t = 0,83 t 3 + 1 x → + 9 t - 0,7 t 2 + 7 y →

E como tinha falado antes, para determinar a posição em função do tempo, basta integrar novamente, isso porque v = d r / d t ! Então integrando a velocidade para achar a posição vamos ter:

∫ 0 r d r = ∫ 0 t 0,83 t 3 + 1 x → + 9 t - 0,7 t 2 + 7 y →

Daqui vão sair duas equações, uma pra posição de x e outra pra y :

x t = 0,83 t 4 4 + t + x 0 y t = 9 t 2 2 - 0,7 t 3 3 + 7 t + y 0

Ajustando os valores teremos:

x t = 0,2 t 4 + t y t = 4,5 t 2 - 0,23 t 3 + 7 t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

A altura máxima vai ser dada quando a velocidade na vertical é zero. A equação da velocidade na direção vertical é uma equação de segunda ordem e ela deve ser igual a zero:

9 t - 0,7 t 2 + 7 = 0

Usando bhaskara achamos as raízes:

t = - ( 9 ) ± 9 2 - 4 ( - 0,7 ) 7 2 ( - 0,7 )

A raiz positiva vai nos dar o instante que queremos:

t = 13,59 s

E a altura máxima y ( 13,59 ) é:

y 13,59 = 4,5 13,59 2 - 0,23 13,59 3 + 7 13,59

y 13,59 = 349 m

Bacana, não é?

Passo 4

As equações que descrevem a trajetória são:

x t = 0,2 t 4 + t y t = 4,5 t 2 - 0,23 t 3 + 7 t

E com a ajuda de um gerador gráfico podemos plotar y ( t )   v e r s u s   x ( t ) :

Show?

Passo 5

Para determinar o deslocamento horizontal, precisamos determinar quanto tempo o foguete leva para voltar ao solo, pois sua trajetória não é uma parábola simétrica. Fazendo y = 0 na expressão para a posição vertical teremos:

4,5 t 2 - 0,23 t 3 + 7 t = 0

t - 0,23 t 2 + 4,5 t + 7 = 0

Uma raiz é quando t = 0 , o que faz sentido, pois o foguete parte da origem. Agora vamos as outras duas raízes. Usando bhaskara:

t = - ( 4,5 ) ± ( 4,5 ) 2 - 4 - 0,23 ( 7 ) 2 ( - 0,23 )

Colocando tudo isso na calculadora e descartando a raiz negativa:

t = 21,01 s

E para esse valor de tempo, o deslocamento horizontal vai ser dado pelo x nesse tempo. A expressão pra x ( t ) já temos, agora é só substituir:

x 21,01 = 0,2 21,01 4 + 21,01 = 3,9 × 10 4 m

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a )   x t = 0,2 t 4 + t y t = 4,5 t 2 - 0,23 t 3 + 7 t ;   v → t = 0,83 t 3 + 1 x → + 9 t - 0,7 t 2 + 7 y →

b )   349 m

c )

d )   3,9 × 10 4 m

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