Enunciado

Um instrumento cortante controlado por um microprocessador possui diversas forças atuando sobre ele. Uma das forças é dada por F → = a x y i uma força orientada no sentido negativo do eixo Oy cujo módulo depende da posição do instrumento. O valor da constante é dado por α =   2,50 N m 3 .

Considere o deslocamento do instrumento desde a origem até o ponto x = 3,0   m , y =   3,0   m .

a) Calcule o trabalho realizado pela força sobre o instrumento para um deslocamento ao longo da reta y =   x que conecta esses dois pontos.

b) Calcule o trabalho realizado pela força sobre o instrumento quando ele é inicialmente deslocado ao longo do eixo Ox até o ponto x = 3,0   m , y = 0 e a seguir deslocado paralelamente ao eixo Oy até o ponto x = 3,0   m , y = 3,0   m .

c) Compare os resultados dos trabalhos realizados por nessas duas trajetórias. A força é conservativa ou não conservativa? Justifique sua resposta.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Temos aqui um instrumento sujeito a diversas forças, iremos analisar aqui a força F = a x y i ^ que está em direção negativa no eixo O y .

Aqui iremos analisar o trabalho da força até 3,3 por diferentes caminhos.

Passo 2

  1. Oi, galerinha! Belezinha? Se liga, lembra que trabalho é força vezes deslocamento? Mas aqui a força F não é constante, para calcular W usamos a integral,
  2. W = ∫ y 1 y 2 F → d l →

    E como a força F varia de acordo com apenas uma coordenada, avaliaremos F ao longo do caminho. O esquema é indicado abaixo

    Fazemos então

    d l → = d x i + d y j

    Igualando,

    F → d l → = - α x y 2 d y

    No caminho, x   =   y , então

    F → d l → = - α y y 2 d y

    F → d l → = - α y 3 d y

    Substituindo na integral, temos

    W = ∫ 0 3 - α y 3 d y

    W = - α 4 0 3

    W = - 1 4 2,50 N m 3 3 m 4 = - 50,6   J

    Passo 2

  3. Respondendo o item (b), para o deslocamento do ponto 1 ao ponto 2,

d l → = d x i

Então,

F → d l → = 0 e W = 0

pois a força é perpendicular a o deslocamento em cada ponto ao longo do caminho.

Para o deslocamento do ponto 2 para o ponto 3,

d l → = d x j

F → d l → = - α x y 2 d y

Substituindo

F → d l → = - ( 2,50 N m 3 ) ( 3 m ) y 2 d y

F → d l → = - 7,5 N m 2 y 2 d y

Integrando, temos

W = ∫ 2 3 - ( 7,5 N m 2 ) y 2 d y

W = - ( 7,5 ) ∫ 2 3 y 2 d y

W = - ( 7,5 ) 1 3 ( 3 m ) 3

W = - 67,5   J

Para esses dois caminhos entre os mesmos pontos inicial e final, o trabalho é diferente; portanto, a força não é conservadora.

Resposta

a) W = - 50,6   J

b) W = - 67,5   J

c) a força não é conservadora.

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