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Qual é o módulo do campo elétrico no ponto 3,00 i ^ - 2,00 j ^ + 4,00 k ^ m se o potencial elétrico é dado por V = 2 x y z 2 , em que V está em volts e x, y e z estão em metros?

Passo 1

Vamo lembrar de uma fórmula importante, meu povo, essa aqui:

E → = - ∇ → V

Lembra do gradiente? Aquele negócio de derivar parcial em x, y e z e depois somar?

∇ →   = ∂ ∂ x x ^ + ∂ ∂ y y ^ + ∂ ∂ z z ^

Então aplicando o gradiente ao potencial elétrico e multiplicando por -1, chegaremos ao vetor campo elétrico. Fica assim:

E → = - ∂ V ∂ x x ^ - ∂ V ∂ y y ^ - ∂ V ∂ z z ^

Passo 2

Agora substitui a expressão de V que a questão deu:

E → = - ∂ ( 2 x y z 2 ) ∂ x x ^ - ∂ ( 2 x y z 2 ) ∂ y y ^ - ∂ ( 2 x y z 2 ) ∂ z z ^

Em derivada parcial derivamos uma variável, e o resto você considera como se fosse constante, e constantes saem da derivada:

E → = - 2 y z 2 d x d x x ^ - 2 x z 2 d ( y ) d y y ^ - 2 x y d ( z 2 ) d z z ^

Agora você deriva normalmente:

d x d x = 1

d ( y ) d y = 1

d ( z 2 ) d z = 2 z

Substituindo na expressão do vetor campo elétrico:

E → = - 2 y z 2 ( 1 ) x ^ - 2 x z 2 ( 1 ) y ^ - 2 x y ( 2 z ) z ^

E → = - 2 y z 2 x ^ + - 2 x z 2 y ^ + ( - 4 x y z ) z ^

Passo 3

Agora é só substituir os valores de x, y e z, ele nos deu o ponto 3,00 i ^ - 2,00 j ^ + 4,00 k ^ m , logo:

  • x =   3 m
  • y =   - 2 m
  • z = 4 m

E → = - 2 y z 2 x ^ + - 2 x z 2 y ^ + ( - 4 x y z ) z ^

E → = - 2 - 2 4 2 x ^ + - 2 3 4 2 y ^ + [ - 4 3 - 2 4 ] z ^

Isso é igual a:

E → = - 2 - 2 16 x ^ + - 2 3 16 y ^ + [ - 4 3 - 2 4 ] z ^

Multiplicando, temos:

E → = 64 x ^ + - 96 y ^ + [ 96 ] z ^

E o resultado final é:

E → = 64 x ^ - 96 y ^ + 96 z ^

Passo 4

Vamos tirar o módulo e correr pro abraço:

Elevando todas as componentes do campo elétrico ao quadrado:

E = E → = 64 2 + - 96 2 + 96 2

Somando essas componentes:

E =   4096 + 9216 + 9216

Tirando a raiz quadrada encontramos:

E = 22528 ≈ 150   V / m

Pronto o módulo do campo elétrico é igual a 150V/m!

Resposta

E = 150 V/m

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