Enunciado

Um mol de um gás ideal, partindo das condições N T P , sofre: (i) uma compressão isotérmica até um volume é de 5   l , seguida de (ii) uma expansão adiabática até retornar ao volume inicial, atingindo uma pressão final de 0,55   a t m . (a) Calcule P ao fim da etapa (i) e T ao fim de (ii). (b) Calcule C P e C V , para este gás; (c) Calcule a variação total de energia interna; (d) Calcule o trabalho total realizado.

Passo 1

(a) Já que estamos partindo das condições N T P , podemos dizer que:

T 0 = 273   K P 0 = 1   a t n

Isso quer dizer que o volume inicial é:

V 0 = n R T 0 P 0 = ( 1 ) ( 0,082 ) ( 273 ) 1 = 22,4   l

E agora, sabendo que o primeiro processo é isotérmico, podemos calcular a pressão ao final da etapa (i):

P 1 V 1 T 1 = P 0 V 0 T 0

Mas T 1 = T 0 :

P 1 = P 0 V 0 V 1 = 1   a t m 22,4 5 = 4,48   a t m

E depois disso o sistema vai adiabaticamente até um volume V 2 = V 0 e P 2 = 0,55   a t m , então:

P 2 V 2 T 2 = P 0 V 0 T 0

T 2 = P 2 V 2 P 0 V 0 T 0 = 0,55 1 273

T 2 = 150   K

Passo 2

(b) Para calcular C P e C v , vamos lembrar da relação que vale para o processo adiabático:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Vamos isolar γ nessa expressão:

V 2 V 1 γ = P 1 P 2

γ ln ⁡ V 2 V 1 = ln ⁡ P 1 P 2

Substituindo os valores numéricos:

γ   ln ⁡ 22,4 5 = ln ⁡ 4,48 0,55

γ ≈ 1,40 = 7 5

E com isso podemos determinar C v , sabendo que:

γ = 1 + R C v         ⇒         C v = R γ - 1

C v = R 7 / 5 - 1 = 5 2 R

E a fórmula para C p é:

C p = C v + R

C p = 5 2 R + R = 7 2 R

Passo 3

(c) Para calcular a variação de energia interna, podemos usar a seguinte fórmula:

Δ U = n C v Δ T

Onde a variação de energia ao longo do processo é:

Δ T = T 2 - T 0

Δ T = 150 - 273 = - 123   K

E então:

Δ U = 1 5 2 8,31 - 123 = - 2555   J

Passo 4

(d) Para calcular o trabalho total realizado, vamos começar olhando para a etapa (i), que é um processo isotérmico:

W i = n R T 0 ln ⁡ V 1 V 0

W i = 1 8,31 273 ln ⁡ 5 22,4 = - 3402   J

E na etapa (ii), que é adiabática ( Q = 0 ), a primeira lei da termodinâmica dá:

Δ U = Q - W i i

W i i = - Δ U

Então podemos aproveitar o valor que calculamos no passo anterior:

W i i = 2555   J

E o trabalho total é:

W = W i + W i i = - 3402 + 2555 = - 847   J

Resposta

(a) P 1 = 4,48   a t m e T 2 = 150   K .

(b) C v = 5 2 R e C p = 7 2 R .

(c) Δ U = - 2555   J .

(d) O trabalho total é W = - 847   J .

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