Enunciado

1   l de H 2 (para o qual γ = 7 / 5 ), à pressão de 1 atm e temperatura de 27 ° C , é comprimido adiabaticamente até o volume de 0,5   l e depois resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. Finalmente, por expansão isobárica, volta à situação inicial. (a) Represente o processo no plano ( P , V ) , indicando P (atm), V (l) e T (K) para cada vértice do diagrama. (b) Calcule o trabalho total realizado; (c) Calcule Δ U e Δ Q para cada etapa.

Passo 1

Vamos começar usando as informações do enunciado para fazer um gráfico:

Para completar o diagrama falta encontrar P B , T B e T C .

Para calcular P B , vamos aproveitar o fato de que o processo A B é adiabático:

P A V A γ = P B V B γ

P B = P A V A V B γ

P B = 1   a t m   1,0 0,5 7 / 5 = 2,64   a t m

Passo 2

Para calcular a temperatura T B , vamos usar a lei dos gases ideais para comparar os pontos A e B :

P A V A T A = P B V B T B

T B = P B V B P A V A T A

T B = 2,64 0,5 1 1 300 = 396   K

E fazemos o mesmo para a temperatura T C , agora comparando os pontos A e C :

P A V A T A = P C V C T C

T C = P C V C P A V A T A

T C = 1 0,5 1 1 300 = 150   K

Agora é só completar o gráfico:

Passo 3

(b) Para calcular o trabalho total realizado, primeiro vamos considerar o processo A B .

Como esse processo é adiabático, a primeira lei da termodinâmica diz que:

W A B = - Δ U A B

E para calcular a variação Δ U A B de energia interna, podemos usar a seguinte fórmula:

Δ U A B = n C v Δ T

Onde o número n de moles do gás pode ser calculado usando a lei dos gases ideais em qualquer ponto do gráfico:

n = P A V A R T A = 1 1 0,082 300 = 4,06 × 10 - 2   m o l

E falta também calcular C v . Para isso podemos usar o fato de que γ = 7 / 5 e a seguinte fórmula:

γ = 1 + R C v

C v = R γ - 1 = R 7 / 5 - 1 = 5 2 R

Substituindo na fórmula:

Δ U A B = n C v Δ T

Δ U A B = 0,0406 5 2 8,31 396 - 300 = 80,9   J

E então:

W A B = - 80,9   J

Passo 4

O trecho B C é isovolumétrico, então o trabalho W B C é nulo. Já o trecho C A é isobárico, então podemos calcular o trabalho usando a seguinte fórmula:

W C A = 1   a t m 1 - 0,5 l

Convertendo 1   a t m = 1,013   .   10 5   P a e 1   l = 10 - 3   m 3 :

W C A = 1,013   .   10 5 0,5 10 - 3 = 50,6   J

Agora é só somar esses dois valores:

W = W A B + W C A

W = - 80,9 + 50,6 = - 30,3   J

Passo 5

(c) E finalmente, queremos calcular a variação da energia interna Δ U e o calor Δ Q para cada etapa.

No trajeto A B , que é adiabático, temos Q A B = 0 e já calculamos Δ U A B = 80,9   J .

No trajeto B C , que é isovolumétrico, o trabalho é nulo, então Δ U B C = Q B C :

Δ U B C = n   C v Δ T = 0,0406 5 2 8,31 150 - 396 = - 207,5   J

No trajeto C A , a primeira lei da termodinâmica dá:

Q C A = Δ U C A + W C A

Q C A = Δ U C A + 50,6

E usando a mesma fórmula de antes:

Q C A = n   C v Δ T + 50,6

Q C A = 0,0406 5 2 8,31 300 - 150 + 50,6

Q C A = 126,5 + 50,6 = 177,1   J

Resposta

(a) Ver desenho.

(b) W = - 30,03   J

(b) Q A B = 0 e Δ U A B = 80,9   J . Q B C = - 207,5   J , Δ U B C = - 207,5   J . Q C A = 177,1   J e Δ U = 126,5   J .

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