Enunciado

Um mol de um gás ideal descreve o ciclo A B C D A representado na figura no plano ( P , V ) , onde T = T 1 e T = T 2 são isotermas. Calcule o trabalho total associado ao ciclo, em função de P 0 , V 0 , T 1 e T 2 .

Passo 1

Vamos começar pelo caminho A B , que é um processo isobárico. Nesse caso o trabalho segue a seguinte fórmula:

W A B = P Δ V

W A B = P 0 V B - V A

E precisamos calcular V A e V B usando a lei dos gases ideais:

V B = n R T B P B

V A = n R T A P A

E sabendo que P A = P B = P 0 , T A = T 1 e T B = T 2 :

V B = n R T 2 P 0

V A = n R T 1 P 0

Substituindo na fórmula de cima:

W A B = P 0 n R T 2 P 0 - n R T 1 P 0

W A B = n R T 2 - T 1

Passo 2

Para o caminho B C , que é um processo isotérmico, temos que usar a seguinte fórmula:

W B C = n R T ln ⁡ V f V i

E usando T = T 2 , V f = V 0 e V i = V B = n R T 2 P 0 :

W B C = n R T 2 ln ⁡ P 0 V 0 n R T 2

E fazemos praticamente a mesma coisa para o caminho D A , que também é isotérmico:

W D A = n R T 1 ln ⁡ V A V 0

W D A = n R T 1 ln ⁡ n R T 1 P 0 V 0

Já no caminho D A , que é isovolumétrico, o trabalho é nulo.

Passo 3

Então o trabalho total é:

W = W A B + W B C + W C D + W D A

W = n R T 2 - T 1 + n R T 2 ln ⁡ P 0 V 0 n R T 2 + 0 + n R T 1 ln ⁡ n R T 1 P 0 V 0

Como n = 1   m o l , podemos simplificar um pouco a expressão:

W = R T 2 - T 1 + R T 2 ln ⁡ P 0 V 0 R T 2 + R T 1 ln ⁡ R T 1 P 0 V 0

Uma observação importante: dê uma olhada nesse último logaritmo, ele foi escrito a partir da seguinte expressão:

ln ⁡ V A V 0

E como V 0 > V A , teremos o logaritmo de um número menor do que 1 , que portanto será um número negativo.

Como esse termo se refere ao trajeto D A , em que o volume está diminuindo, faz sentindo que o trabalho tenha sinal negativo.

Resposta

O trabalho total é W = R T 2 - T 1 + R T 2 ln ⁡ P 0 V 0 R T 2 + R T 1 ln ⁡ R T 1 P 0 V 0 .

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