Enunciado

  1. Mostre que a capacitância equivalente para dois capacitores em série pode ser escrita como
  2. C e q = C 1 C 2 C 1 + C 2

  3. Usando apenas esta formula e um pouco de álgebra, mostre que C e q deve ser, sempre, menorque C 1 e C 2 ,e portanto, deve ser menor que o menor dos dois valores.
  4. Mostre que a capacitância equivalente de três capacitores em série pode ser escrita como
  5. C e q = C 1 C 2 C 3 C 1 C 2 + C 2 C 3 + C 1 C 3

  6. Usando apenas esta fórmula e um pouco de álgebra, mostre que C e q . deve ser, sempre, menor que C 1 , C 2 .e C 3 , e, portanto, deve ser menor que o menor dos três valores

Passo 1

L e t r a   A :

Cara... Imagina dois capacitores em série...

De acordo com a teoria, podemos determinar a capacitância equivalente desse arranjo por...

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 →

Por um pouquinho de Álgebra...

1 C e q = C 2 + C 1 C 1 C 2   →

Multiplicando cruzado...

C e q = C 1 C 2 C 2 + C 1

Passo 2

L e t r a   B :

Cara...

C e q = C 1 C 2 C 1 + C 2   →

Vamos provar aqui que C e q tem que ser menor que C 1 e menor que C 2 . Multiplicando cruzado aí...

C e q C 1 + C 2 = C 1 C 2   →

E elevando ao quadrado, temos que...

C e q 2 C 1 + C 2 2 = C 1 2 C 2 2   →

C e q 2 C 1 2 + 2 C 1 C 2 + C 2 2 = C 1 2 C 2 2   →

C 1 2 C e q 2 + 2 C 1 C 2 C e q 2 + C 2 2 C e q 2 = C 1 2 C 2 2   →

Então...

C 1 2 C e q 2 + 2 C 1 C 2 C e q 2 + C 2 2 C e q 2 - C 1 2 C 2 2 = 0   →

Dividindo todo mundo por C 1 2 C 2 2 ...

C e q 2 C 2 2 + 2 C e q 2 C 1 C 2 + C e q 2 C 1 2 - 1 = 0   →

C e q 2 C 2 2 + 2 C e q 2 C 1 C 2 + C e q 2 C 1 2 = 1   →

Como temos ao quadrado em cima de todo mundo e a capacitância é positiva, podemos dizer então que...

C e q 2 C 2 2 + 2 C e q 2 C 1 C 2 + C e q 2 C 1 2 = 1         →             C e q 2 C 2 2 < 1   →

C e q < C 2

Da mesma forma...

C e q 2 C 1 2     →           C e q < C 1

Então de fato, podemos afirmar que C e q tem que ser menor que o menor entre C 1 e C 2 ...

C e q < min ⁡ C 1 ,   C 2

Passo 3

L e t r a   C :

Imagine agora três capacitores em série...

A capacitância equivalente vai ser dada por...

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3   →

1 C e q = C 2 C 3 C 1 C 2 C 3 + C 1 C 3 C 1 C 2 C 3 + C 1 C 2 C 1 C 2 C 3   →

1 C e q = C 2 C 3 + C 1 C 3 + C 1 C 2 C 1 C 2 C 3   →

Então de fato...

C e q = C 1 C 2 C 3 C 2 C 3 + C 1 C 3 + C 1 C 2  

Passo 4

L e t r a   D :

De forma análoga a letra B ...

C e q C 2 C 3 + C 1 C 3 + C 1 C 2   = C 1 C 2 C 3       →

Elevando ao quadrado...

C e q 2 C 2 C 3 + C 1 C 3 + C 1 C 2 2   = C 1 2 C 2 2 C 3 2       →

C e q 2 C 2 C 3 + C 1 C 3 2 + C 1 2 C 2 2 + 2 C 2 C 3 + C 1 C 3 C 1 C 2     = C 1 2 C 2 2 C 3 2       →

C e q 2 C 2 2 C 3 2 + C 1 2 C 3 2 + 2 C 2 C 1 C 3 2 + C 1 2 C 2 2 + 2 C 2 C 3 + C 1 C 3 C 1 C 2     = C 1 2 C 2 2 C 3 2       →

C e q 2 C 2 2 C 3 2 C 1 2 C 2 2 C 3 2 + C 1 2 C 3 2 C 1 2 C 2 2 C 3 2 + 2 C 2 C 1 C 3 2 C 1 2 C 2 2 C 3 2 + C 1 2 C 2 2 C 1 2 C 2 2 C 3 2 + 2 C 2 C 3 + C 1 C 3 C 1 C 2 C 1 2 C 2 2 C 3 2   = 1     →

C e q 2 C 2 2 C 3 2 C 1 2 C 2 2 C 3 2 < 1   →

C e q 2 1 C 1 2 < 1   →

C e q < C 1

E de modo análogo se prova que...

C e q < C 2

C e q < C 3

Isto é...

C e q < min ⁡ C 1 ,   C 2 ,   C 3

Resposta

Letra A: Questão de Demonstração

Letra B: C e q < min ⁡ C 1 ,   C 2

Letra C: Questão de demonstração

Letra D:

C e q < min ⁡ C 1 ,   C 2 ,   C 3

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