Enunciado

N medidas de uma variável estocástica x fornecem valores x i , i = 1 ,   2 ,   … ,   N . O valor médio de x i é X . O desvio entre uma dada medida e X é Δ x i = x i - X . O valor médio do quadrado do desvio (denominado variância da variável) é σ 2 = Δ x i 2 .

a) Mostre que σ 2 = x i 2 - X 2 .

b) Mostre que x r m s ≥ X .

c) Em que situação ocorre x r m s = X ?

Passo 1

Esse é um exercício bem clássico de estatística! Para isso, vamos precisar de duas propriedades sobre os valores esperados:

x 1 + x 2 = x 1 + x 2

k x = k x ,               k     c o n s t a n t e

Pela definição, Δ x i = x i - X . Desta forma,

σ 2 = Δ x i 2 = x i - X 2 = x i 2 - 2 X x i + X 2

Usando a primeira propriedade:

σ 2 = x i 2 - 2 X x i + X 2

Como X é uma constante, temos que

2 X x i = 2 X x i             e             X 2 = X 2

Assim,

σ 2 = x i 2 - 2 X x i + X 2

Mas sabemos que X = x i , de modo que

σ 2 = x i 2 - 2 X ⋅ X + X 2

Ou ainda,

σ 2 = x i 2 - X 2

Passo 2

No item (b) queremos mostrar que x r m s ≥ X . Para isso, recorremos a definição de x r m s :

x r m s = x i 2

Como σ 2 ≥ 0 , segue do item (a) que

x i 2 - X 2 ≥ 0

Logo,

x i 2 ≥ X 2 → x i 2 ≥ X

Portanto,

x r m s ≥ X

A situação em que x r m s = X corresponde ao limite em que σ 2 = 0 , de modo que x i 2 = X 2 .

Resposta

Demonstração.

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