Enunciado

Mostre que a energia potencial de um dipolo magnético μ → sujeito a um campo magnético B → é V = - μ → ⋅ B → .

Passo 1

Fala pessoal, beleza?

Vamos fazer agora o último exercício do capítulo 20!

Geralmente a gente define o trabalho de uma força como sendo

W = ∫ F → ⋅ d l →

A partir disso podemos definir a energia potencial como sendo

V r - V 0 = - ∫ r 0 r F r   d r

Mas uma coisa que poucas pessoas sabem é que podemos escrever o trabalho em termos de um torque:

W = - ∫ τ   d θ

Com isso, podemos escrever a energia potencial como

V θ - V 0 = + ∫ θ 0 θ τ   d θ

Essa é a expressão que usaremos para resolver o problema!

Passo 2

O torque sobre um dipolo magnético é dado por

τ → = μ → × B →

Escrevendo essa relação em módulo, temos que

τ = μ B   s e n   θ

Além disso, é conveniente definir a energia potencial como sendo nula para θ = 90 ° , quando o torque é máximo. Fazendo isso, temos que

V θ - 0 = + ∫ π 2 θ μ B   s e n   θ   d θ = - μ B   cos ⁡ θ π / 2 θ

Assim,

V θ = - μ B cos ⁡ θ

Podemos escrever essa relação como um produto escalar:

V = - μ → ⋅ B →

Com isso fechamos o problema e o capítulo 😉.

PS: se você quiser uma dedução mais bonitinha e rica de comentários e referências incríveis, aconselho dar uma olhadinha no início do capítulo 15 do volume 2 do “Feynman Lectures on Physics” que está gratuitamente disponível na internet. Só jogar no google que aparece.

Resposta

V = - μ → ⋅ B →

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