Enunciado

Mostre que a energia total de um pêndulo simples sob oscilações de pequena amplitude ϕ 0 (em radianos) é E ≈ 1 2 m g L ϕ 0 2 . Dica: Use a aproximação c o s ϕ ≈ 1 - 1 2 ϕ 2 para pequenos   ϕ .

Passo 1

Bom, sabemos que a energia do sistema é dada apenas pela energia potencial e pela energia cinética do pêndulo. Vamos ilustrar a situação para podermos moldar a equação da maneira que o enunciado pede para a gente:

Como podemos ver, o comprimento do pêndulo é L, e a diferença de alturas quando o pêndulo está no extremo, onde o ângulo é ϕ 0 , será chamada de h. Podemos escrever h da seguinte forma:

h = L - L c o s ϕ 0 = L ( 1 - c o s ϕ 0 )

L c o s ϕ 0 foi determinado pelo triangulo retângulo na imagem.

Passo 2

Quando o pendulo está no extremo, a energia cinética é zero, e então podemos escrever toda a energia mecânica total somente em função da energia potencial:

E = U

Que nesse caso é somente a energia potencial gravitacional:

E = m g h

Passo 3

Agora precisamos só substituir h:

E = m g L ( 1 - c o s ϕ 0 )

E como o enunciado diz que é para ângulos pequenos, e nos dá a seguinte aproximação para esse caso:

c o s ϕ ≈ 1 - 1 2 ϕ 2

Ficamos com:

E ≈ m g L 1 - 1 - 1 2 ϕ 0 2

E ≈ 1 2 m g L ϕ 0 2

Que é o que o enunciado pede para mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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