Enunciado

Duas linhas de carga infinitas, cada qual com uma densidade linear de carga, estão posicionadas ao longo dos eixos x e y, passando ambas pela origem. Qual é a intensidade do campo elétrico na posição (x, y)?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Pede-se a intensidade do campo elétrico, mas primeiro temos que saber como é o campo elétrico de uma linha de carga infinita, certo? Então vamos acha-la!

Se faremos fazemos para um bastão e depois levarmos seu comprimento ao infinito, será muito mais fácil. Assim, seja um bastão:

Vemos que as componentes em y se cancelam, sobrando somente em x, de forma que:

E b a s t ã o = E i x cos ⁡ θ

Sabemos que o campo elétrico é dado por:

d E = 1 4 π ϵ 0   d Q r 2  

Assim:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d Q r 2 cos ⁡ θ

Pela imagem, vemos que:

cos ⁡ θ = d R

E que:

R = y 2 + d 2

Assim:

cos ⁡ θ = d y 2 + d 2

E ficando:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d Q y 2 + d 2 d y 2 + d 2  

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d   d Q y 2 + d 2 3 2  

E sabemos que a densidade linear de carga é:

λ = Q L

Logo:

Q = λ L → d Q = λ d L

Vemos na imagem que d L = d y

Assim ficamos com:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d * λ   d y y 2 + d 2 3 2  

Integrando sabendo que - L 2 ≤ y ≤ + L 2  

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y y 2 + d 2 3 2

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y d 2 y d 2 + 1 3 2

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y d 3 y d 2 + 1 3 2

Façamos:

y d = tan ⁡ θ

Logo:

d y = d  sec 2 ⁡ θ   d θ

E quando:

y = L 2 → θ = tan - 1 ⁡ L 2 d

E:

y = - L 2 → θ = tan - 1 ⁡ - L 2 d

Assim ficando:

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d d  sec 2 ⁡ θ   d θ d 3 tan 2 ⁡ θ + 1 3 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d   sec 2 ⁡ θ   d θ tan 2 ⁡ θ + 1 3 2

Sabemos que:

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d   sec 2 ⁡ θ   d θ sec 3 ⁡ θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d cos ⁡ θ   d θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d s e n   θ - L 2 d l 2 d

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d 2 L L 2 + 4 d 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d 2 L 2 L 2 2 + d 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d L L 2 2 + d 2

Sabemos que:

λ = Q L

∴ E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0 1 d Q L 2 2 + d 2

Agora, façamos esse bastão ser infinito, ou seja, L → ∞

E f i o   i n f i n i t o = 1 4 π ϵ 0 1 d Q L 2 ( 1 2 2 + d L 2

E f i o   i n f i n i t o = 1 4 π ϵ 0 1 d Q L 2

Sabemos que:

λ = Q L

∴ E f i o   i n f i n i t o = 1 4 π ϵ 0   2 λ d

Essa doeu até a mão ☹. Mas chegamos!!

Passo 2

Se queremos no ponto (x,y)

Logo:

E x = 1 4 π ϵ 0   2 λ x

E:

E y = 1 4 π ϵ 0   2 λ y

Então:

E → = E x → i v e r s o r + E y →   j v e r s o r

E → = 2 λ 4 π ϵ 0 1 x i v e r s o r + 1 y   j v e r s o r

Passo 3

A intensidade do campo é dada pelo seu módulo então:

E → = E x 2 + E y 2

E → = 2 λ 4 π ϵ 0 1 x 2 + 1 y 2

Resposta

E → = 2 λ 4 π ϵ 0 1 x 2 + 1 y 2

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