Enunciado

Uma nave espacial de comprimento adequado Lp = 400 m passa por uma estação transmissora a uma velocidade de 0,760c. (A estação transmissora transmite sinais que viajam à velocidade da luz.) Um relógio é anexado ao nariz da nave espacial e um segundo relógio é anexado à estação transmissora. No instante em que o nariz da nave passa pelo transmissor, o relógio conectado ao transmissor e o relógio conectado ao nariz da nave são zerados. No instante em que a cauda da nave passa pelo transmissor, um sinal é enviado pelo transmissor que é posteriormente detectado por um receptor no nariz da nave. (a) Quando, de acordo com o relógio preso ao nariz da nave espacial, o sinal é enviado? (b) Quando, de acordo com os relógios fixados no nariz da nave espacial, o sinal é recebido? (c) Quando, de acordo com o relógio anexado ao transmissor, o sinal é recebido pela nave espacial? (d) De acordo com um observador que trabalha na estação transmissora, a que distância do transmissor está o nariz da nave quando o sinal é recebido?

Passo 1

Eita kkkk enunciado grande né? Mas relaxa, o problema é tranquilo! Vem comigo!

Vamos botar S sendo o referencial da espaçonave e S ' , o da Terra (estação transmissora). Além disso, o evento A a emissão do pulso de luz e o evento B a recepção do pulso de luz no nariz da nave.

Bom, em (a) e (c), podemos usar a distância clássica, taxa e relação de tempo e em (b) e (d) podemos aplicar as transformações de Lorentz inversas. Vamos lá??

Passo 2

(a) Tanto em S quanto em S ' o pulso viaja na velocidade c . Portanto:

t A = L p v = 400   m 0,76   c

t A = 1,76   μ s

Esse é o tempo que o sinal demora para ser enviado.

Passo 3

(b) O tempo da nave, será o tempo próprio, ok? Pois os eventos ocorrem no mesmo ponto da nave.

Para encontrar o tempo visto da nave, temos que ele será dado por:

t B = t p u l s o + t A

Ou seja, o tempo visto da nave será o tempo que demorou até o sinal ser emitido somado ao tempo que o pulso demorou até chegar na ponta de nave. O tempo que o pulso demorou até a ponta da nave será:

t p u l s o = 400   m 2,998 × 10 8   m / s

t p u l s o = 1,33   μ s

Assim, o tempo que passou para o relógio da nave será:

t B = 1,33   μ s + 1,76   μ s = 3,09   μ s

Passo 4

(c) Vamos usar a transformação inversa do tempo, agora, para achar o tempo marcado na estação:

t B ' = γ t B - v x c 2

Onde:

γ = 1 1 - v 2 c 2 = 1 1 - ( 0,76 c ) 2 c 2

γ = 1,54

Dessa forma:

t B ' = 1,54 ( 3,09 × 10 - 6   s ) - ( - 0,76 c ) ( 400   m ) c 2

t B ' = 1,54 ( 3,09 × 10 - 6   s ) - ( - 0,76 ) ( 400   m ) 2,998 × 10 8   m / s

t B ' = 6,32   μ s

Passo 5

(d) Bom, para esse trabalhador, o tamanho da nave não é o tamanho próprio, né, já vimos isso. Então, para o trabalhador, a distância será:

x ' = γ x - v t

Substituindo os valores:

x ' = 1,54 [ 400   m - ( - 0,76 ) ( 2,998 × 10 8   m / s ) ( 3,09 × 10 - 6   s ) ]

x ' = 1,7   k m

Prontinho!! Acabou!

Resposta

(a) 1,76   μ s

(b) 3,09   μ s

(c) 6,32   μ s

(d) 1,7   k m

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