Enunciado

Navegando no sistema solar. A espaçonave Mars Polar Lander (explorador polar de Marte) foi lançada em 3 de janeiro de 1999. No dia 3 de dezembro de 1999, ela pousou na superfície de Marte em alta velocidade e provavelmente se desintegrou, ocasião em que as posições de Marte e da Terra eram dadas pelas seguintes coordenadas:

Nessas coordenadas, o Sol está na origem e o plano da órbita da Terra é o xy. A Terra corta o eixo +x uma vez por ano no equinócio do outono, o primeiro dia de outono no Hemisfério Norte, o que ocorre em torno do dia 22 de setembro. Uma UA, ou unidade astronômica, equivale a 1,496 × 108 km, a distância média entre a Terra e o Sol. (a) Em um diagrama, mostre as posições do Sol, da Terra e de Marte no dia 3 de dezembro de 1999. (b) Calcule as seguintes distâncias em UA no dia 3 de dezembro de 1999: (i) entre o Sol e a Terra; (ii) entre o Sol e Marte; (iii) entre a Terra e Marte. (c) Observando-se da Terra, qual era o ângulo entre a direção que unia a Terra a Marte e a direção que unia a Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999? (d) Verifique e explique se Marte era visível à meia-noite na sua cidade no dia 3 de dezembro de 1999. (Quando é meia-noite no seu local, o Sol está do lado oposto da Terra em relação a você.)

Passo 1

E aiii galera!

Tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha de vetores?

O enunciado dessa é bem grande, então vamos devagarzinho... A quest��o nos dá as coordenadas em unidades astronômicas da Terra e de Marte:

Lembrando que se o objeto A tem coordenadas x A , y A e o objeto B tem coordenadas x B , y B , o vetor r → A B de A até B tem o componente x :

x B - x A

E o componente y :

y B - y A

Passo 2

Letra a:

Queremos mostre as posições do Sol, da Terra e de Marte no dia 3 de dezembro de 1999 em um diagrama.

O diagrama é esboçado na figura:

Passo 3

Letra b:

Aqui queremos calcular as seguintes distâncias em UA no dia 3 de dezembro de 1999:

  1. entre o Sol e a Terra;
  2. entre o Sol e Marte;
  3. entre a Terra e Marte.

Em UA:

(i)

( 0.3182 ) 2 + ( 0.9329 ) 2 = 0.9857

(ii)

( 1.3087 ) 2 + ( - 0.4423 ) 2 + ( - 0.0414 ) 2 = 1.3820 .

(iii)

( 0.3182 - 1.3087 ) 2 + ( 0.9329 - ( - 0.4423 ) ) 2 + ( 0.0414 ) 2 = 1.695

Passo 4

Letra c:

Aqui queremos encontrar o ângulo entre a direção que unia a Terra a Marte e a direção que unia a Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999.

O ângulo entre as direções da Terra ao Sol e a Marte é obtido a partir do produto.

Combinando as equações temos:

ϕ = arccos ⁡ - 0.3182 1.3087 - 0.3182 + - 0.9329 - 0.4423 - 0.9329 + 0 0.9857 1.695 = 54.6 ∘ .

Passo 5

Letra d:

Bom... Marte não poderia ser visível à meia-noite, porque o ângulo Sol-Marte é menor que 90º.

Nossos cálculos dão corretamente que Marte está mais longe do Sol do que a Terra.

Observe que nesta data, Marte estava mais longe da terra do que do sol.

Resposta

  1. Ver diagrama
  2. Ver respostas
  3. 54.6 ∘
  4. Marte não poderia ser visível à meia-noite, porque o ângulo Sol-Marte é menor que 90º.
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