Enunciado

Uma roda com 45,0   c m de raio rola sem escorregar em um piso horizontal (veja a figura). No instante t 1 , o ponto P , pintado na borda da roda, está no ponto de contato entre a roda e o piso; Em um instante posterior t 2 , a roda descreveu meia revolução. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao piso) do deslocamento do ponto P ?

Passo 1

Belezoca galerinha, pra gente encontrar o vetor do deslocamento do ponto P , precisamos fazer lembrar da relação de distância, dada na forma vetorial como:

Δ r → = r → t 2 - r → t 2

Ou seja, temos que considerar a diferença dos vetores da posição do ponto P nos instantes t 1 e t 2 .

Não importa qual ponto nós escolhermos como origem do nosso sistema, essa diferença sempre vai ser um vetor que liga as posições inicial e final do ponto de maneira igual na figura dada abaixo:

Passo 2

Como a roda descreveu meia revolução entre os dois instantes: a distância horizontal percorrida foi:

∆ x = 1 2 2 π R

∆ x = π R

E já a distância vertical percorrida pelo ponto é igual a 2 R , ou seja:

E agora começou a ficar bonitinho, porque saca só, as duas distâncias que descobrimos, formam os catetos do triângulo retângulo de hipotenusa ∆ r → , sendo assim, podemos calcular o módulo do vetor usando o teorema de pitágoras:

∆ r 2 = π R 2 + 2 R 2

Logo:

Δ r = π R 2 + 2 R 2

Δ r = R π 2 + 4

Como R = 0,450   m , obtemos:

Δ r = 0,450 π 2 + 4

Δ r = 1,68   m

Passo 3

E agora, para calcular o ângulo que o vetor forma com o piso, podemos lembrar da definição da tangente num triângulo retângulo, dada como:

tan ⁡ θ = 2 R π R

tan ⁡ θ = 2 π

Logo:

θ = arctan ⁡ 2 π

θ = 32,5 °

Resposta

(a) O módulo do deslocamento é 1,68   m .

(b) O ângulo do deslocamento em relação ao piso é 32,5 ° .

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