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Neste problema, 1,00 mol de um gás ideal é aquecido enquanto seu volume varia de forma que T = A P ² , onde A é uma constante. A temperatura varia de T 0 até 4 T 0 . Determine o trabalho realizado sobre o gás.

Passo 1

Muito bem, queremos o trabalho, mas como? Nós não temos praticamente nada para calculá-lo, certo? Então como faremos?

Precisamos lembrar que o trabalho é calculado como a área abaixo da curva PV formada. Ou seja, a área abaixo da linha ligando o estado inicial e final.

Legal, então vamos fazer um diagrama PV ! Mas como? Vamos precisar do estado inicial e final. Algumas informações nós possuímos.

No estado inicial:

T = T 0

Jogando na fórmula da temperatura:

T 0 = A P 0 ²

P 0 = T 0 A

Já sabemos P 0 , agora precisamos do volume inicial. Aqui podemos usar uma relação muito conhecida para os gases:

P V = n R T

O problema nos disse que n = 1   m o l e   T = A P ² :

P V = R A P ²

V = R A P

Na pressão inicial:

V 0 = R A P 0

Chegamos às coordenadas para o estado inicial: ( V 0 , P 0 ).

Passo 2

Agora vamos passar para o estado final:

T = 4 T 0

Jogando na fórmula da temperatura:

4 T 0 = A P f ²

P f = 4 T 0 A = 2 T 0 A = 2 P 0

Já sabemos que P f   será o dobro da pressão do estado inicial, agora precisamos o volume. Usando a relação obtida no passo 1:

V f = R A P f = 2 R A P 0 = 2 V 0

Chegamos às coordenadas para o estado final: ( 2 V 0 , 2 P 0 ).

Se analisarmos a relação entre V e P, V = R A P , temos uma linearidade. Ou seja, o gás vai de ( V 0 , P 0 ) até ( 2 V 0 , 2 P 0 ) por uma linha reta.

Se jogarmos tudo isso no diagrama:

O mais difícil já conseguimos, agora só falta o trabalho.

Passo 3

Segundo a Primeira Lei da Termodinâmica, o trabalho pode ser calculado como a área abaixo do gráfico.

O gráfico é formado uma figura geométrica conhecida, o trapézio. Então o trabalho do gás será:

W p e l o   g á s = W t r a p é z i o   = 1 2 B m e n o r   + B m a i o r   .   A l t u r a

Vamos definir cada um dos valores:

B m e n o r   = P 0

B m a i o r   = 2 P 0

A l t u r a = 2 V 0 - V 0 = V 0

Jogando no trabalho:

W p e l o   g á s = 1 2 P 0 + 2 P 0 .   V 0 = 3 2 P 0 V 0

Resposta

W p e l o   g á s = 3 2 P 0 V 0

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