Enunciado

Um objeto é atraído para a origem com uma força dada por F x = - k / x 2 . (As forças elétricas e as gravitacionais possuem esse tipo de dependência com a distância.)

a) Calcule o trabalho realizado pela força F x quando o objeto se desloca ao longo do eixo O x de x 1 a x 2 . Se x 2   >   x 1 , verifique se o trabalho realizado por F x é positivo ou negativo.

b) A única força, além dessa, é a força que a sua mão exerce sobre o objeto para deslocá-lo lentamente de x 1   a   x 2 . Qual trabalho você realiza? Se x 2   >   x 1 , o trabalho realizado por você é positivo ou negativo?

c) Explique as semelhanças e as diferenças entre suas respostas das partes (a) e (b).

Passo 1

  1. O trabalho realizado por uma força variável é dada pela integral:
  2. W = ∫ F d r

    Do ponto inicial até o ponto final. Como temos a expressão para a força e ela atua ao longo do eixo x basta integrar em d x de x 1 até x 2 :

    W = ∫ x 1 x 2 - k x 2 d x = - k - 1 x x 1 x 2 = - k - 1 x 2 + 1 x 1

    W = k 1 x 2 - 1 x 1

    Agora temos que x 2 > x 1 , então:

    1 x 2 - 1 x 1 < 0

    O que temos dentro dos colchetes é negativo, então o trabalho é negativo.

    Passo 2

  3. Considerando “lentamente” como velocidade constante, temos que a força resultante é zero, e por consequência o trabalho total é zero. A força aplicada pela mão é oposta a F x e o trabalho realizado tem mesmo módulo e sinal oposto ao sinal que encontramos no item anterior. Assim:
  4. W = k 1 x 1 - 1 x 2

    E se temos x 2 > x 1 , temos que esse trabalho é positivo!

    Passo 3

  5. Como mencionei no item anterior, o objeto se desloca com velocidade constante, isso significa que a força resultante é zero e isso nos leva a trabalho total nulo. Para isso acontecer o trabalho da mão deve ser de mesmo módulo e sentido contrário ao trabalho encontrado no item a ) .

Resposta

a ) W = k 1 x 2 - 1 x 1 ,   W < 0

b ) W = k 1 x 1 - 1 x 2 ,   W > 0

c ) W t o t a l = 0 ∴ W a = | W b |

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