Enunciado

Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo x tem uma amplitude de 2,0   c m . um comprimento de onda de 10   c m e uma frequência de 400   H z . Se a equação da onda é da forma   y ( x ,   t )   =   y m s e n ( k x   + ω t ) , determine (a) y m (b) k , (c) ω e (d) o sinal que precede ω . Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?

Passo 1

(a)A amplitude é igual a y m = 2,0   c m = 0,02   m dada de bandeja no enunciado.

Passo 2

(b)O número de onda é igual a k = 2 π λ = 2 π 0,10 m = 63   m - 1

Passo 3

(c)A freqüência angular é dada por ω = 2 π f = 2 π 400   H z = 2,5 × 10 3 r a d   s - 1

Passo 4

(d)Para responder a essa pergunta, vamos analisar o movimento de uma onda. Suponha que você muda do seu referencial para o referencial da onda, “andando” junto com ela. Isso corresponde a acompanhar o deslocamento da onda ao longo do tempo de um ponto onde a fase ϕ = k x ± ω t é constante. Sendo ϕ constante, então:

d ϕ d t = 0 = k d x d t ±   ω = 0

Então

d x d t = ∓ ω k

Disso, a gente já consegue perceber que , se o sinal que precede ω inicialmente é negativo, então d x d t é positivo, o que corresponde ao caso em que a onda se propaga no sentido positivo do eixo x .

Passo 5

(e) A velocidade transversal é dada pela derivada de y ( x , t ) com relação ao tempo. Derivando, a gente encontra:

d y ( x , t ) d t = - ω y m c o s ⁡ ( k x - ω t )

Percebe quando o módulo dessa expressão adquire um valor máximo? Isso acontece quando o módulo do cosseno é máximo, e igual a 1 . A velocidade máxima é, então, igual a

v m a x = ω y m = 2510 r a d s × 0,020 m = 50 m / s

Passo 6

(f)A velocidade de propagação transversal da onda é dada pela famosa equação:

v = λ × f = λ T = ω k = 2510 r a d s 62,8 r a d m ≅ 40   m / s

Resposta

(a) 0,020   m

(b) 63   m - 1

(c) 2,5 × 10 3 r a d / s

(d) -

(e) 50 m / s

(f) 40   m / s

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