Enunciado

Uma onda sonora plana monocromática de pressão dada por

p i = ℘ cos ⁡ - k x x + k y y - ω t

onde k 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 = ω 2 / v 2 ( v = velocidade do som), incide com ângulo de incidência θ 1 , sobre o plano x = 0 , ocupado por uma parede rígida (figura), dando origem à onda refletida, de pressão dada por

p r = ℘ ' cos ⁡ k x x + k y y - ω t

associada ao ângulo de reflexão θ 1 ' . (a) Verifique que k x = k cos ⁡ θ 1 ,   k y = k sen ⁡ θ 1 . (b) Aplique a condição de contorno do problema 6 à onda total p = p i + p r e determine ρ ' em função de ρ , usando (b), e interprete o resultado. Mostre que, no caso particular em que k y = 0 , ele se reduz ao que foi encontrado na pág. 135 para a reflexão na extremidade fechada de um tubo de órgão.

Passo 1

A forma geral da equação de onda plana é:

u = A cos ⁡ k → ∙ r → + ω t

No caso da onda p i :

p i = ℘ cos ⁡ - k x x + k y y - ω t

Então o vetor de onda só pode ser:

k → i = - k x   i ^ + k y   j ^

Esse vetor aponta na direção de propagação da onda. Ou seja, ele deve ser paralelo à direção p 1 indicada na figura.

Pela própria figura, podemos ver que, se o módulo desse vetor de onda é k , as suas componentes são:

k → = - k cos ⁡ θ 1 i ^ + k sen ⁡ θ 1   j ^

Então:

- k cos ⁡ θ 1 i ^ + k sen ⁡ θ 1   j ^ = - k x   i ^ + k y   j ^

k x = k cos ⁡ θ 1 k y = k sen ⁡ θ 1

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 2

(b) Para encontrar a onda “total”, vamos somar as duas expressões que foram dadas no enunciado:

p = p i + p r

p = ℘ cos ⁡ - k x x + k y y - ω t + ℘ ' cos ⁡ k x x + k y y - ω t

Aplicando a condições de contorno que foi mencionada:

∂ p ∂ x = 0           e m           x = 0

∂ p ∂ x = k x ℘ sen ⁡ - k x x + k y y - ω t - k x ℘ ' sen ⁡ k x x + k y y - ω t

E em x = 0 :

k x ℘ sen ⁡ k y y - ω t - k x ℘ ' sen ⁡ k y y - ω t = 0

A única forma de garantir essa igualdade para qualquer ponto é se:

℘ = ℘ '

Isso indica que a amplitude das duas ondas é a mesma, e portanto ocorreu reflexão total.

Passo 3

No caso em que k y = 0 , as equações das ondas são:

p i = ℘ cos ⁡ - k x x - ω t

p r = ℘ cos ⁡ k x x - ω t

Aqui já estamos usando o fato de que ℘ = ℘ ' .

Somando as duas equações, temos o seguinte:

p = p i + p r = ℘ cos ⁡ - k x x - ω t + ℘ cos ⁡ k x x - ω t

Vamos mexer um pouco nos sinais do primiero cosseno:

p = ℘ cos ⁡ - k x x + ω t + ℘ cos ⁡ k x x - ω t

Mas cos ⁡ - x = cos ⁡ x :

p = ℘ cos ⁡ k x x + ω t + ℘ cos ⁡ k x x - ω t

E agora vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:

2 cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

Então:

p = 2 ℘ cos ⁡ k x x cos ⁡ ω t

Que a equação de uma onda estacionária na direção x , conforme o enunciado sugeriu.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) ℘ = ℘ ' .

(c) p = 2 ℘ cos ⁡ k x x cos ⁡ ω t .

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