Enunciado

Uma onda sonora se propaga uniformemente em todas as direções a partir de uma fonte pontual. ( a ) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento s do meio transmissor a uma distância r da fonte:

s = b r s e n k r - v t ,

em que b é uma constante.

Considere a velocidade , o sentido de propagação, a periodicidade e a intensidade da onda.

( b ) Qual é a dimensão da constante b ?

Passo 1

A função deslocamento deve ser uma função de caráter periódico, e isso está descrito pelo s e n k r - v t .

Sabemos que a velocidade da onda v se relaciona com a frequência angular ω da seguinte forma:

v = ω k

Vamos olhar o argumento da função seno:

k r - k v t = k r - ω t

Ou seja, um argumento típico de uma onda de pressão que está se deslocando no sentido positivo de r (sinal que precede ω é - ).

A velocidade do elemento de ar que está se deslocando é:

v = ∂ s ∂ t = k v b r c o s k r - v t  

A energia cinética d K de uma fatia de ar oscilando é:

d K = 1 2 ρ A d r k v b r c o s k r - v t   2

Lembrando que ρ A d r é o diferencial de massa de ar se deslocando

Podemos agora dividir dos dois lados por d t e achar uma relação d K / d t e relacionar com d r d t = v .

Ou seja, a taxa média com que se transporta energia (intensidade da onda) é:

d K d t m é d = 1 2 ρ A d r d t k v b r c o s k r - v t   2

d K d t m é d = 1 2 ρ A v k v b r c o s k r - v t   m é d 2

E lembrando que a média de uma função seno ou cosseno é ½, temos:

d K d t m é d = 1 4 ρ A v k v 2 b r 2

Agora temos ω = k v :

d K d t m é d = I = 1 4 ρ A v ω 2 b r 2

E comparando com a intensidade teremos:

I = 1 4 ρ A v ω 2 s m 2 = 1 4 ρ A v ω 2 b r 2

E sabemos que s m é a amplitude de deslocamento máximo.

Passo 2

Sabendo que b / r é a amplitude máxima de deslocamento s m , que por sua vez é dada em metros (no S.I), então a constante b deve ser dada em m ² , uma vez que r é dada em m e t r o s .

Resposta

  ( b ) m ²

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