Enunciado

Uma corda fina, esticada, presa nas duas extremidades e oscilando em seu terceiro harmônico possui a forma descrita pela equação y ( x ,   t )   =   ( 5,60   c m )   s e n   [ ( 0,0340   r a d / c m ) . x ]   s e n   [ ( 50,0   r a d / s ) t ] , onde a origem está na extremidade esquerda da corda, o eixo O x está na corda e o eixo   O y é perpendicular à corda. (a) Desenhe um diagrama que mostre o padrão da onda estacionária. (b) Calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária. (c) Qual é o comprimento da corda? (d) Calcule o comprimento de onda, a frequência, o período e a velocidade das ondas progressivas. (e) Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto na corda. (f) Qual seria a equação y ( x ,   t ) para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?

Passo 1

Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??

“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?

  1. O terceiro harmônico é aquele no qual temos três nós na corda, certo? Então temos 3 λ / 2   na corda e o desenho está aqui embaixo:
  2. Passo 2

  3. A equação da onda é:
  4. y x , t = 5,6 c m s e n [ ( 0,034 r a d / c m ) x ] s e n [ ( 50 r a d / s ) t ]

    E em comparação com a equação geral da onda temos que a amplitude da onda estacionária é A E S = 5,6 c m . Assim a amplitude da onda é a metade da amplitude da onda estacionária:

    A = A E S 2

    = 5,6 2

    = 2,8 c m

    Passo 3

  5. Como vimos no passo 1 , temos 3 / 2 comprimentos de onda no terceiro harmônico. Como a distância entre as extremidades vale L :
  6. L = 3 2 λ

    E o comprimento de onda está relacionado com o número de onda k :

    λ = 2 π k

    E em comparação com a equação geral, temos que k = 0,034   r a d / c m , assim conseguimos calcular o valor de L :

    L = 3 2 λ

    = 3 2 2 π k

    = 3 π k

    = 3 π 0,034

    = 277 c m

    Passo 4

  7. Como sabemos que 3 2 λ = L e o tamanho da corda é 277 c m , ficou tranquilo encontrar o comprimento de onda:
  8. λ = 2 L 3

    = 2.277 3

    = 184,7 c m

    A frequência pode ser encontrada a partir de ω :

    ω = 2 π f

    = 50 r a d / s

    f = 50 2 π

    = 7,96 H z

    O período é o inverso da frequência:

    T = 1 f

    = 1 7,96

    = 0,126 s

    E a velocidade é o produto da frequência pelo comprimento de onda:

    v = λ f

    = 184,7 ⋅ 7,96

    = 1470 c m / s

    Passo 5

  9. A velocidade transversal está relacionada com a amplitude e com a frequência angular:
  10. v m á x = A E S ω

    = 5,6 ⋅ 50

    = 280 c m / s

    Passo 6

  11. Para determinar a equação para o oitavo harmônico precisamos determinar f 8 , comprimento de onda λ 8 , ω 8 e k 8 correspondentes.

f n = n f 1

Como temos a frequência do terceiro harmônico, podemos calcular a frequência fundamental:

f 1 = 7,96 3

= 2,65 H z

E assim calcular a frequência f 8 :

f 8 = 8 f 1

= 8 ⋅ 2,65

= 21,2 H z

E temos ω 8 :

ω = 2 π f 8

= 133 r a d / s

E o comprimento de onda:

λ = v f 8

= 1470 21,2

= 69,3 c m

E agora o número de onda:

k = 2 π λ

= 2 π 69,3

= 0,0906 r a d / c m

Agora podemos construir a equação para o oitavo harmônico:

y x , t = 5,6 c m s e n [ ( 0,0906 r a d / c m ) x ] s e n [ ( 133 r a d / s ) t ]

“OK, isso foi legal.”

Resposta

a )   v i d e   a   i m a g e m   n o   p a s s o   1

b )   2,8 c m

c ) 277 c m

d ) 184,7 c m ;   7,96 H z ; 0,126 s ; 1470 c m / s ;  

e ) 280 c m / s

f ) y x , t = 5,6 c m s e n [ ( 0,0906 r a d / c m ) x ] s e n [ ( 133 r a d / s ) t ]

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