Enunciado

71. Um oscilador de 200   g , dentro de uma câmara de vácuo, oscila com frequência de 2,0   H z . Quando a câmara se enche de ar, em 50   s   a oscilação diminui para 60 %   de sua amplitude inicial. Quantas oscilações ele terá completado quando a amplitude for 30 % de seu valor inicial?

Passo 1

Opa! Hey brother! Bora pra mais uma questãozinha sobre Ondulatória!

Se liga só! Pelo enunciado, onde diz que a nossa amplitude é reduzida após um certo intervalo de tempo, tá na cara que o nosso oscilador é amortecido.

Sendo assim, bora usar a seguinte equação abaixo que descreve a posição dele em função do tempo...

x t = A 0 e - t / 2 τ

Esse A 0 é a nossa amplitude inicial. Como a questão nos diz que a amplitude diminui para 60 % do valor inicial após 50   s , então a amplitude após esse tempo todo será de...

x t = 0,60 A 0

Voltando a fórmula da posição do oscilador; isolemos o ( - t / 2 τ ) ...

x t = A 0 e - t / 2 τ

x t A 0 = e - t / 2 τ

ln ⁡ e - t / 2 τ = ln ⁡ x t A 0

- t 2 τ = ln ⁡ x t A 0

Como x ( t ) após t = 50   s , vale 0,60 A 0 ; então...

- t 2 τ = ln ⁡ 0,60 A 0 A 0

- t 2 τ = ln ⁡ 0,6

Isolando o τ e substituindo o valor de t ...

τ = - t 2 ⋅ ln ⁡ 0,60

τ = - 50   s 2 ⋅ ln ⁡ 0,60

τ = 48,9   s

Esse τ é a chamada constante de tempo!

Passo 2

Mas o objetivo aqui, é encontrar o número de oscilações que o nosso sistema terá completado quando a amplitude for 30 % de seu valor inicial.

Bom! Como já temos a constante de tempo τ , agora ficou moleza! Basta pegar a equação de posição, fazendo apenas uma pequena alteração na variável de tempo, justamente a que estamos procurando...

x t = A 0 e - t 30 / 2 τ

Como x ( t ) precisa ser igual a 0,3 A 0 ; então...

0,3 A 0 = A 0 e - t 30 / 2 τ

e - t 30 / 2 τ = 0,3

Aplicando l n em ambos os lados e já substituindo o valor de τ ...

ln ⁡ e - t 30 / 2 τ = ln ⁡ 0,3

- t 30 2 τ = ln ⁡ 0,3

t 30 = - 2 τ ln ⁡ 0,3

t 30 = - 2 ⋅ 48,9   s ⋅ ln ⁡ 0,3

t 30 ≅     118   s

Quanto ao número de oscilações realizadas... Ora bolas, nosso sistema oscila com frequência de 2   H z , ou seja, faz 2 oscilações por segundo.

Sendo assim o número, n , de oscilações vai valer...

n = ( 2   o s c i l a ç õ e s / s ) ⋅ ( 118   s )

n = 236   o s c i l a ç õ e s  

Pronto! Resposta encontrada! Todo mundo feliz!?

E até a próxima!

Resposta

n = 236   o s c i l a ç õ e s

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